Caratteristiche, esempi ed esercizi dei vettori concorrenti

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Basil Manning

Il vettori concorrenti sono i gruppi di vettori i cui assi coincidono in un punto, formando tra ciascuna coppia di essi un angolo interno ed un angolo esterno. Un chiaro esempio è mostrato nella figura sotto, dove A, B e C sono vettori concorrenti tra loro.

D ed E a differenza del resto non lo sono. Ci sono angoli formati tra i vettori concorrenti AB, AC e CB. Sono chiamati angoli di relazione tra i vettori.

Indice articolo

  • 1 Caratteristiche
  • 2 tipi di vettori
  • 3 Notazione vettoriale
    • 3.1 Cartesiano
    • 3.2 Polar
    • 3.3 Analitico
    • 3.4 Sferico
  • 4 Operazioni con vettori concorrenti
    • 4.1 Somma (A + B)
    • 4.2 Differenza (A - B)
    • 4.3 Prodotto scalare (A. B)
    • 4.4 Prodotto vettoriale (A x B)
  • 5 Esempi: esercizi risolti
    • 5.1 Esercizio 1
    • 5.2 Esercizio 2 
  • 6 Esercizi proposti
  • 7 Riferimenti

Caratteristiche

-Hanno un punto comune, che coincide con la loro origine: tutte le grandezze dei vettori concorrenti partono da un punto comune fino ai rispettivi estremi..

-L'origine è considerata come il punto di azione del vettore: deve essere stabilito un punto di azione che sarà direttamente influenzato da ciascuno dei vettori concorrenti.

-Il suo dominio nel piano e nello spazio è RDue e R3 rispettivamente: i vettori concorrenti sono liberi di coprire l'intero spazio geometrico.

-Consente diverse notazioni nello stesso gruppo di vettori. A seconda dei rami di studio, nelle operazioni con i vettori sono presenti notazioni diverse.

Tipi di vettori

Il ramo dei vettori ha più suddivisioni, alcune delle quali possono essere denominate: parallela, perpendicolare, complanare, corrispondente, opposta e unitaria. I vettori concorrenti sono elencati qui e, come tutti quelli sopra citati, hanno molte applicazioni in diverse scienze..

Sono molto comuni nello studio dei vettori, perché rappresentano un'utile generalizzazione nelle operazioni con essi. Sia nel piano che nello spazio, i vettori concorrenti sono comunemente usati per rappresentare diversi elementi e studiarne l'influenza su un particolare sistema..

Notazione vettoriale

Esistono diversi modi per rappresentare un elemento vettoriale. I principali e più conosciuti sono:

cartesiano

Proposto da questo stesso approccio matematico, indica i vettori con una tripla corrispondente alle grandezze di ciascun asse (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Spazio A: (1, 1) Aereo

Polare

Servono solo per denotare vettori nel piano, sebbene nel calcolo integrale sia loro assegnata la componente di profondità. È composto con una grandezza lineare r e un angolo rispetto all'asse polare Ɵ.

A: (3, 450 ) Piano A: (2, 450 , 3) Spazio

Analitico

Definiscono le grandezze del vettore usando i versori. I versori (i + j + k) rappresentano i vettori unitari corrispondenti agli assi X, Y Y

A: 3i + 2j - 3k

Sferica

Sono simili alla notazione polare, ma con l'aggiunta di un secondo angolo che spazia sul piano xy simboleggiato da δ.

A: (4, 60o , π / 4)

Operazioni vettoriali simultanee

I vettori concorrenti sono principalmente usati per definire operazioni tra vettori, perché è più facile confrontare gli elementi dei vettori quando sono presentati contemporaneamente..

Somma (A + B)

La somma dei vettori concorrenti mira a trovare il vettore risultante Vr. Che, secondo il ramo di studio, corrisponde a un'azione finale

Ad esempio: 3 stringhe LA, SI, DO sono legate a una scatola, ciascuna estremità della stringa è trattenuta da un soggetto. Ciascuno dei 3 soggetti deve tirare la fune in una direzione diversa rispetto agli altri 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + di + cy; az + bz + cz) = Vr

La scatola potrà quindi muoversi solo in una direzione Vr indicherà la direzione e la direzione di movimento della scatola.

Differenza (A - B)

Ci sono molti criteri per quanto riguarda la differenza tra vettori, molti autori scelgono di escluderla e affermano che viene stabilita solo la somma tra i vettori, dove la differenza è circa la somma del vettore opposto. La verità è che algebricamente i vettori possono essere sottratti.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) = [ax + (-bx); ay + (-by); az + (-bz)]

Prodotto scalare (A. B)

Conosciuto anche come prodotto scalare, genera un valore scalare che può essere correlato a varie grandezze a seconda del ramo di studio..

Per geometria si indica l'area del parallelogramma formato dalla coppia di vettori concorrenti tramite il metodo del parallelogramma. Per la fisica meccanica definire il lavoro svolto da una forza F quando si sposta un corpo a distanza Δr.

ѡ = F . Δr

Come indica il nome, genera un valore scalare ed è definito come segue:

Siano i vettori A e B.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Forma analitica:

(A. B) = | A |. | B | .Cos θ

Dove θ è l'angolo interno tra entrambi i vettori

-Forma algebrica:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Prodotto incrociato (A x B)

Il prodotto incrociato o prodotto puntuale tra due vettori, definisce un terzo vettore C che ha la qualità di essere perpendicolare a B Y C. In fisica definire il vettore di coppia τ elemento base della dinamica rotazionale.

-Forma analitica:

| A x B | = | A |. | B | .Sen θ

-Forma algebrica:

(A x B) = = (Ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. by - ay. bx) K

-Moto relativo: rA / B

La base della relatività è il movimento relativo e i vettori concorrenti sono la base del movimento relativo. Posizioni, velocità e accelerazioni relative possono essere dedotte applicando il seguente ordine di idee.

r A / B = rPER - rB    ; Posizione relativa di A rispetto a B

v A / B = vPER - vB  ; Velocità relativa di A rispetto a B

per A / B = aPER - perB  ; Accelerazione relativa di A rispetto a B

Esempi: esercizi risolti

Esercizio 1

Siano A, B e C vettori concorrenti.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Definisci il vettore risultante Vr = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

Vr = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

Vr = ([-2 + (- 9) + (- 4)]; [6 + (- 15) + (- 2)]; (10 + 6 + 1))

Vr = (-15, -11, 17)

-Definisci il prodotto scalare (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4-6 + 5

(A. C) = 3

-Calcola l'angolo tra A e C

(A. C) = | A |. | C |. Cos θ Dove θ è l'angolo più corto tra i vettori

θ = 88,630

 -Trova un vettore perpendicolare ad A e B.

Per questo è necessario definire il prodotto vettoriale tra (-1, 3, 5) e (3, 5, -2). Come spiegato prima, viene costruita una matrice 3 x 3 in cui la prima riga è composta dai vettori tripla unità (i, j, k). Quindi la 2a e la 3a fila sono costituite dai vettori da operare, rispettando l'ordine operativo.

(A x B) = = [(-1). 5 - (3. 3)] io  - [(-1). (-2) - (5. 3)] j + [(-1). 5 - (3. 3)] K

(A x B) = (-5 - 9) io - (2 - 15) j + (-5 - 9) K         

(A x B) =  -14 I + 13 j - 14 k

Esercizio 2 

Lascia che Vper e Vb rispettivamente i vettori velocità di A e B. Calcola la velocità di B vista da A.

Vper = (3, -1, 5) Vb = (2, 5, -3)

In questo caso viene richiesta la velocità relativa di B rispetto ad A. VB / A

VB / A = VB - VPER

VB / A = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Questo è il vettore velocità di B visto da A. Dove viene descritto un nuovo vettore della velocità di B prendendo riferimento da un osservatore posizionato in A e muovendosi con la velocità di A.

Esercizi proposti

1-Costruisci 3 vettori A, B e C che sono concorrenti e metti in relazione 3 operazioni tra loro attraverso un esercizio pratico.

2-Siano i vettori A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) e C: (-2, -1, 10). Trova vettori perpendicolari a: A e B, C e B, La somma A + B + C.

4-Determina 3 vettori perpendicolari tra loro, senza tener conto degli assi delle coordinate.

5-Definire il lavoro svolto da una forza che solleva un blocco di massa 5 kg, dal fondo di un pozzo profondo 20m.

6-Mostra algebricamente che la sottrazione di vettori è uguale alla somma del vettore opposto. Giustifica i tuoi postulati.

7-Indica un vettore in tutte le notazioni sviluppate in questo articolo. (Cartesiano, polare, analitico e sferico).

8-Le forze magnetiche esercitate su un magnete che poggia su un tavolo, sono date dai seguenti vettori; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), O: (-3, 5, -4). Determina in quale direzione si muoverà il magnete se tutte le forze magnetiche agiscono contemporaneamente.

Riferimenti

  1. Geometria euclidea e trasformazioni. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1 gennaio 2004
  2. Come risolvere i problemi di matematica applicata L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 aprile 2013
  3. Concetti di base della geometria. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 ottobre 2012
  4. Vettori. Rocío Navarro Lacoba, 7 giugno. 2014
  5. Algebra lineare. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006

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