Il Teorema di esistenza e unicità stabilisce le condizioni necessarie e sufficienti affinché un'equazione differenziale del primo ordine, con una data condizione iniziale, abbia una soluzione e che questa soluzione sia anche l'unica.
Tuttavia, il teorema non fornisce alcuna tecnica o indicazione su come trovare una tale soluzione. Il teorema di esistenza e unicità è esteso anche alle equazioni differenziali di ordine superiore con condizioni iniziali, noto come problema di Cauchy..
La dichiarazione formale del teorema di esistenza e unicità è la seguente:
"Per un'equazione differenziale y '(x) = f (x, y) con la condizione iniziale y (a) = b, esiste almeno una soluzione in una regione rettangolare del piano XY contenendo al punto (a, b), sì f (x, y) è continuo in quella regione. E se la derivata parziale di F nel rispetto di Y: g = ∂f / ∂e è continuo in quella stessa regione rettangolare, quindi la soluzione è unica in un quartiere del punto (a, b) contenuto nella regione di continuità di F Y g."
L'utilità di questo teorema sta innanzitutto nel sapere quali sono le regioni del piano XY in cui può esistere una soluzione e anche nel sapere se la soluzione trovata è l'unica possibile o se ce ne sono altre..
Si noti che nel caso in cui la condizione di unicità non sia soddisfatta, il teorema non può prevedere quante soluzioni in totale ha il problema di Cauchy: forse è una, due o più.
Indice articolo
Per questo teorema sono note due possibili dimostrazioni, una è la dimostrazione di Charles Émile Picard (1856-1941) e l'altra è dovuta a Giuseppe Peano (1858-1932) basata sulle opere di Augustin Louis Cauchy (1789-1857) ).
È interessante notare che le menti matematiche più brillanti del diciannovesimo secolo hanno partecipato alla dimostrazione di questo teorema, quindi si può intuire che nessuna delle due è semplice.
Per dimostrare formalmente il teorema, è necessario prima stabilire una serie di concetti matematici più avanzati, come funzioni di tipo Lipschitz, spazi di Banach, teorema di esistenza di Carathéodory e molti altri, che esulano dallo scopo dell'articolo..
Gran parte delle equazioni differenziali che vengono trattate in fisica si occupano di funzioni continue nelle regioni di interesse, quindi ci limiteremo a mostrare come il teorema viene applicato in equazioni semplici.
Consideriamo la seguente equazione differenziale con una condizione iniziale:
y '(x) = - y; con y (1) = 3
c'è una soluzione per questo problema? È l'unica soluzione possibile?
In primo luogo, viene valutata l'esistenza della soluzione dell'equazione differenziale e che soddisfi anche la condizione iniziale.
In questo esempio f (x, y) = - y la condizione dell'esistenza richiede di sapere se f (x, y) è continuo in una regione dell'aereo XY che contiene il punto delle coordinate x = 1, y = 3.
Ma f (x, y) = - y è il funzione affine, che è continuo nel dominio dei numeri reali ed esiste in tutta la gamma dei numeri reali.
Quindi si conclude che f (x, y) è continua in RDue, quindi il teorema garantisce l'esistenza di almeno una soluzione.
Sapendo questo, è necessario valutare se la soluzione è unica o se, al contrario, ce n'è più di una. Per questo è necessario calcolare la derivata parziale di F rispetto alla variabile Y:
∂f / ∂y = ∂ (-y) / ∂y = -1
Poi g (x, y) = -1 che è una funzione costante, che è anche definita per ogni RDue ed è anche continuo lì. Ne consegue che il teorema di esistenza e unicità garantisce che questo problema del valore iniziale abbia una soluzione unica, sebbene non ci dica di cosa si tratta..
Considera la seguente equazione differenziale ordinaria del primo ordine con condizione iniziale:
y '(x) = 2√y; y (0) = 0.
C'è una soluzione y (x) per questo problema? In tal caso, determinare se ce n'è uno o più di uno.
Consideriamo la funzione f (x, y) = 2√y. La funzione F è definito solo per y≥0, poiché sappiamo che un numero negativo manca di una radice reale. Cosa c'è di più f (x, y) è continuo nel semipiano superiore di RDue compreso l'asse X, quindi il teorema di esistenza e unicità garantisce almeno una soluzione in quella regione.
Ora la condizione iniziale x = 0, y = 0 è sul bordo della regione della soluzione. Quindi prendiamo la derivata parziale di f (x, y) rispetto a y:
∂f/ ∂y = 1 / √y
In questo caso la funzione non è definita per y = 0, proprio dove si trova la condizione iniziale.
Cosa ci dice il teorema? Ci dice che sebbene sappiamo che esiste almeno una soluzione, il semipiano superiore dell'asse X compreso l'asse X, poiché la condizione di unicità non è soddisfatta, non vi è alcuna garanzia che ci sarà una soluzione unica.
Ciò significa che potrebbero esserci una o più soluzioni nella regione di continuità di f (x, y). E come sempre, il teorema non ci dice cosa potrebbero essere.
Risolvi il problema di Cauchy nell'esempio 1:
y '(x) = - y; con y (1) = 3.
Trova la funzione y (x) che soddisfa l'equazione differenziale e la condizione iniziale.
Nell'esempio 1 è stato determinato che questo problema ha una soluzione ed è anche unico. Per trovare la soluzione, la prima cosa da notare è che si tratta di un'equazione differenziale del primo grado di variabili separabili, che si scrive come segue:
dy / dx = - y → dy = -y dx
Dividendo tra e in entrambi i membri per separare le variabili abbiamo:
dy / y = - dx
L'integrale indefinito viene applicato in entrambi i membri:
∫ (1 / y) dy = - ∫dx
Risolvendo gli integrali indefiniti abbiamo:
ln (y) = -x + C
dove C è una costante di integrazione che è determinata dalla condizione iniziale:
ln (3) = -1 + C, ovvero C = 1 + ln (3)
Sostituendo il valore di C e riorganizzandolo rimane:
ln (y) - ln (3) = -x + 1
Applicazione della seguente proprietà dei logaritmi:
La differenza dei logaritmi è il logaritmo del quoziente
L'espressione sopra può essere riscritta in questo modo:
ln (y / 3) = 1 - x
La funzione esponenziale con base e in entrambi i membri viene applicata per ottenere:
y / 3 = e(1 - x)
Che è equivalente a:
y = 3e e-X
Questa è l'unica soluzione dell'equazione y '= -y con y (1) = 3. Il grafico di questa soluzione è mostrato in figura 1.
Trova due soluzioni per il problema posto nell'esempio 2:
y '(x) = 2√ (y); y (0) = 0.
È anche un'equazione di variabili separabili, che, scritta in forma differenziale, si presenta così:
dy / √ (y) = 2 dx
Prendendo l'integrale indefinito in entrambi i membri rimane:
Due √ (y) = 2 x + C
Come fai a saperlo y≥0 nella regione della soluzione abbiamo:
y = (x + C)Due
Ma poiché la condizione iniziale x = 0, y = 0 deve essere soddisfatta, la costante C è zero e rimane la seguente soluzione:
y (x) = xDue.
Ma questa soluzione non è univoca, la funzione y (x) = 0 è anche una soluzione al problema posto. Il teorema di esistenza e unicità applicato a questo problema nell'Esempio 2 aveva già previsto che ci potesse essere più di una soluzione.
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