Il identità trigonometriche sono relazioni tra rapporti trigonometrici, che sono veri per qualsiasi valore della variabile. Per esempio:
tan θ = sin θ / cos θ
È un'identità trigonometrica che mette in relazione tre rapporti dell'angolo θ, la tangente, il seno e il coseno di detto angolo.
Questa identità è vera per tutti i valori, tranne quelli che fanno di 0 il denominatore. Il cos θ è 0 per θ = ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2… Un altro esempio di identità trigonometrica è:
peccato x. sec x. ctg x = 1
Indice articolo
Esistono due modi fondamentali per dimostrare che un'identità trigonometrica è vera:
1- Trasformare uno dei membri dell'uguaglianza nell'altro, attraverso comode manipolazioni algebriche.
2- Sviluppa separatamente entrambi i membri dell'uguaglianza, finché le rispettive espressioni finali di ciascuno non sono esattamente le stesse.
Nell'identità proposta, trasformeremo il lato sinistro dell'uguaglianza, per cui esprimiamo ctg x e sec x in termini di seno e coseno come segue:
ctg x = cos x / sin x
sec x = 1 / cos x
Sostituiamo questa espressione sul lato sinistro dell'identità e semplifichiamo:
peccato x. (1 / cos x). (cos x / sin x) = (sin x. cos x / cos x. sin x) = 1
E la veridicità dell'identità è già verificata.
Esistono diverse classi di identità trigonometriche. Di seguito descriveremo brevemente i principali:
Distinguiamo due tipi di identità fondamentali:
I) Quelli che si esprimono attraverso i rapporti di base seno, coseno e tangente:
II) Quelli derivati dalla parità. Sappiamo dal suo grafico che sin x è una funzione dispari, il che significa che:
sin (-x) = - sin x
Da parte sua, cos x è una funzione pari, quindi:
cos (-x) = cos x
Poi:
tg (-x) = sin (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x
Allo stesso modo:
Si ottengono dall'applicazione del teorema di Pitagora al triangolo rettangolo delle gambe aeb e all'ipotenusa c. Vediamo:
Il teorema di Pitagora afferma che:
cDue = aDue + bDue
Dividendo tutto per cDue:
cDue / cDue = (aDue / cDue) + (BDue / cDue)
Il termine a sinistra è 1 e ricordando che seno e coseno dell'angolo acuto α sono definiti come:
sin α = a / c
cos α = b / c
Risultato:
1 = (sin α)Due + (cos α)Due
Questa identità è nota come identità fondamentale.
La procedura può essere eseguita dividendo per aDue e BDue, da cui derivano altre due identità:
secDue α = 1 + tgDue α
raccoltoDue α = 1 + ctgDue α
Le principali identità trigonometriche per coseno, seno e tangente di addizione e sottrazione sono le seguenti:
Queste identità possono essere provate geometricamente o anche dalla formula di Eulero:
eiα = cos α + i sin α
Vediamo cosa succede alla formula sostituendo la somma di due angoli α e β:
eio (α +β) = cos (α + β) + i sin (α + β)
Questa espressione è complessa, la sua parte reale è cos (α + β) e la sua parte immaginaria è i sin (α + β). Salviamo questo risultato per un uso successivo e ci concentriamo sullo sviluppo della parte esponenziale:
eio (α +β) = eiα ⋅ eiβ = (cos α + i sin α). (cos β + i sin β) =
= cos α⋅cos β + cos α⋅i sin β + i⋅sen α cos β - sin α⋅sen β
La parte reale di questa espressione è quella che non viene moltiplicata per l'unità immaginaria "i":
cos α⋅cos β - sin α. sin β
La parte immaginaria quindi è:
i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β)
Affinché due espressioni complesse siano uguali, la parte reale di una deve essere uguale alla parte reale dell'altra. Lo stesso accade con le parti immaginarie.
Prendiamo il risultato salvato e lo confrontiamo con questo:
cos α. cos β - sin α. sin β = cos (α + β)
i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β) = i sin (α + β)
sin (α + β) = (cos α. sin β + sin α⋅cos β)
Nelle formule precedenti prendiamo β = α e sviluppiamo:
sin (α + α) = sin 2 α = sin α⋅cos α + cos α. sin α = 2⋅ sin α ⋅ cos α
cos (α + α) = cos 2 α = cos α⋅cos α - sin α⋅sen α = cosDue α - peccato Due α
tg (α + α) = tg 2 α = [tg α + tg α] / [1- tg α⋅tg α] = 2tg α / 1- tgDue α
Se nella seconda espressione sostituiamo cosDue α = 1 - peccatoDue α si ottiene:
cos 2 α = cosDue α - (1- cosDue α) = 2 cosDue α -1
In quest'ultima espressione, sostituiamo α con α / 2, rimane quanto segue:
cos α = 2 cos Due(α / 2) -1
Risolvendo per:
Dimostrare che:
Lavoreremo algebricamente il termine sinistro in modo che assomigli a quello giusto. Poiché sin x appare nel termine corretto, il primo passo è esprimere cosDuex in termini di sin x in modo che tutto sia in termini di stesso rapporto trigonometrico:
Quindi 1 - il peccato viene preso in considerazioneDue x perché è una differenza di quadrati perfetti. Per fare questo, cancella l'identità fondamentale:
cosDuex = 1 - peccatoDue X
1 - senDue x = (1- peccato x) (1 + sinx)
E la fattorizzazione è sostituita nell'espressione originale:
Il termine (1- sinx) è semplificato e rimane un'uguaglianza:
1 + sin x = 1 + sinx
Risolvi la seguente equazione trigonometrica e dai la soluzione per valori compresi tra 0 e 360º:
tg x + secDue x = 3
Nel termine a sinistra ci sono due rapporti trigonometrici, quindi è necessario ridurre tutto ad uno solo, per poter risolvere l'ignoto. Il termine secDue x si esprime attraverso una delle identità pitagoriche:
secDue α = 1 + tgDue α
La sostituzione nell'equazione rimane:
tg x + 1 + tgDue x = 3
Riorganizzare i termini:
tgDue x + tg x + 1 = 3
Questa equazione viene risolta apportando il cambio di variabile:
tg x = u
oDue + u + 1-3 = 0 → uDue + u - 2 = 0
Questa equazione quadratica è facilmente risolvibile fattorizzando:
(u +2) (u-1) = 0
Quindi u1 = -2 e uDue = 1, che è equivalente a:
tg x1 = -2
tg xDue = 1
Finalmente:
X1 = arctg (-2) = 296,6º
XDue = arctg (1) = 45º
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