Il fattore comune raggruppando i termini è una procedura algebrica che permette di scrivere alcune espressioni algebriche sotto forma di fattori. Per raggiungere questo obiettivo, è prima necessario raggruppare l'espressione in modo appropriato e osservare che ogni gruppo così formato ha, in effetti, un fattore comune.
Applicare correttamente la tecnica richiede un po 'di pratica, ma in breve tempo puoi padroneggiarla. Diamo prima un'occhiata a un esempio illustrativo descritto passo dopo passo. Quindi il lettore può applicare ciò che ha appreso in ciascuno degli esercizi che appariranno in seguito.
Ad esempio, supponiamo di dover fattorizzare la seguente espressione:
2xDue + 2xy - 3zx - 3zy
Questa espressione algebrica consiste di 4 monomi o termini, separati da segni + e -, vale a dire:
2xDue, 2xy, -3zx, -3zy
Guardando da vicino, x è comune ai primi tre, ma non all'ultimo, mentre y è comune al secondo e al quarto e z è comune al terzo e al quarto..
Quindi in linea di principio non esiste un fattore comune ai quattro termini contemporaneamente, ma se sono raggruppati come verrà mostrato nella sezione successiva, è possibile che ne appaia uno che aiuti a scrivere l'espressione come il prodotto di due o più fattori.
Indice articolo
Fattorizza l'espressione: 2xDue + 2xy - 3zx - 3zy
Passo 1: Gruppo
2xDue + 2xy - 3zx - 3zy = (2xDue + 2xy) + (-3zx - 3zy)
Passaggio 2: trova il fattore comune di ciascun gruppo
2xDue + 2xy - 3zx - 3zy =
= (2xDue + 2xy) - (3zx + 3zy) =
= 2x (x + y) - 3z (x + y)
ioimportante: il segno negativo è anche un fattore comune che deve essere preso in considerazione.
Si noti ora che le parentesi (x + y) vengono ripetute nei due termini ottenuti raggruppando. Questo è il fattore comune ricercato.
Passaggio 3: fattorizza l'intera espressione
2xDue + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)
Con il risultato precedente è stato raggiunto l'obiettivo del factoring, che altro non è che trasformare un'espressione algebrica basata su addizioni e sottrazioni di termini, nel prodotto di due o più fattori, nel nostro esempio, di: (x + y) y (2x - 3z).
Problema 1: Come sapere che il risultato è corretto?
Risposta: La proprietà distributiva viene applicata al risultato ottenuto e dopo aver ridotto e semplificato l'espressione così ottenuta deve corrispondere all'originale, in caso contrario c'è un errore.
Nell'esempio precedente, lavoriamo al contrario con il risultato, per verificare che sia corretto:
(x + y) (2x - 3z) = 2xDue -3zx + 2xy - 3zy
Poichè l'ordine degli addendi non altera la somma, dopo aver applicato la proprietà distributiva vengono restituiti tutti i termini originali, segni compresi, quindi la fattorizzazione è corretta.
Domanda 2: Potrebbe essere stato raggruppato in un altro modo?
Risposta: Esistono espressioni algebriche che consentono più di una forma di raggruppamento e altre che non lo consentono. Nell'esempio selezionato, il lettore può provare altre possibilità da solo, ad esempio raggruppando in questo modo:
2xDue + 2xy - 3zx - 3zy = (2xDue- 3zx) + (2xy - 3zy)
E puoi verificare che il risultato sia lo stesso ottenuto qui. Trovare il raggruppamento ottimale è una questione di pratica.
Domanda 3: Perché è necessario prendere un fattore comune da un'espressione algebrica?
Risposta: Perché esistono applicazioni in cui l'espressione fattorizzata semplifica i calcoli. Ad esempio, supponi di voler fare 2xDue + 2xy - 3zx - 3zy uguale a 0. Quali sarebbero le possibilità?
Per rispondere a questa domanda, la versione fattorizzata è molto più utile rispetto allo sviluppo originale in termini. Si afferma così:
(x + y) (2x - 3z) = 0
Una possibilità che l'espressione sia 0 è che x = -y, indipendentemente dal valore di z. E l'altro è che x = (3/2) z, indipendentemente dal valore di y.
Prendi un fattore comune della seguente espressione raggruppando i termini:
ax + ay + bx + di
I primi due sono raggruppati, con il fattore comune "a" e gli ultimi due con il fattore comune "b":
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)
Fatto ciò, viene rivelato un nuovo fattore comune, che è (x + y), in modo che:
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)
Questa espressione supporta un altro modo di raggruppare. Vediamo cosa succede se si riorganizzano i termini e si crea un gruppo con quelli che contengono x e un altro con quelli che contengono y:
ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)
In questo modo il nuovo fattore comune è (a + b):
ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)
Il che porta allo stesso risultato dal primo raggruppamento testato.
La seguente espressione algebrica deve essere scritta come il prodotto di due fattori:
3 °3 - 3 °Dueb + 9abDue-perDue+ab-3bDue
Questa espressione contiene 6 termini. Proviamo a raggruppare il primo e il quarto, il secondo e il terzo e infine il quinto e il sesto:
3 °3 - 3 °Dueb + 9abDue-perDue+ab-3bDue = (3a3 -perDue) + (- 3aDueb + 9abDue) + (ab-3bDue)
Ora ogni parentesi viene fattorizzata:
= (3a3 -perDue) + (- 3aDueb + 9abDue) + (ab -3bDue) = aDue (3a - 1) + 3ab (3b -a) + b (a-3b)
A prima vista sembra che la situazione sia stata complicata, ma il lettore non dovrebbe scoraggiarsi, poiché riscriveremo l'ultimo termine:
perDue (3a - 1) + 3ab (3b -a) + b (a-3b) = aDue (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)
Gli ultimi due termini hanno ora un fattore comune, che è (3b-a), quindi possono essere scomposti. È molto importante non perdere di vista il primo trimestreDue (3a - 1), che deve continuare ad accompagnare tutto come aggiunta, anche se non ci stai lavorando:
perDue (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = aDue (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)
L'espressione è stata ridotta a due termini e nell'ultimo si scopre un nuovo fattore comune, che è "b". Ora resta:
perDue (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = aDue (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)
Il prossimo fattore comune che appare è 3a - 1:
perDue (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1) [aDue + b (3b-a)]
O se preferisci senza parentesi:
(3a - 1) [aDue + b (3b-a)] = (3a - 1) (aDue -ab + 3bDue)
Il lettore può trovare un altro modo di raggruppare che porti a questo stesso risultato??
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