Il costante di integrazione È un valore aggiunto al calcolo di antiderivative o integrali, serve a rappresentare le soluzioni che compongono la primitiva di una funzione. Esprimi un'ambiguità intrinseca in cui qualsiasi funzione ha un numero infinito di primitive.
Ad esempio, se prendiamo la funzione: f (x) = 2x + 1 e otteniamo la sua antiderivativa:
∫ (2x + 1) dx = xDue + X + C ; Dove C è il costante di integrazione e rappresenta graficamente la traslazione verticale tra le infinite possibilità del primitivo. È corretto affermare che (xDue + x) è un delle primitive di f (x).
Allo stesso modo possiamo definire un (xDue + X + C ) come primitiva di f (x).
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Si può notare che derivando l'espressione (xDue + x) si ottiene la funzione f (x) = 2x + 1. Ciò è dovuto alla proprietà inversa esistente tra la derivazione e l'integrazione delle funzioni. Questa proprietà permette di ottenere formule di integrazione a partire dalla differenziazione. Che consente la verifica degli integrali tramite le stesse derivate.
Tuttavia (xDue + x) non è l'unica funzione la cui derivata è uguale a (2x + 1).
Dove 1, 2, 3 e 4 rappresentano particolari primitive di f (x) = 2x + 1. Mentre 5 rappresenta l'integrale indefinito o primitivo di f (x) = 2x + 1.
Le primitive di una funzione si ottengono attraverso il processo di antiderivazione o integrale. Dove F sarà una primitiva di f se quanto segue è vero
Si può vedere che una funzione ha un'unica derivata, a differenza delle sue infinite primitive risultanti dall'integrazione.
∫ f (x) dx = F (x) + C
Corrisponde a una famiglia di curve con lo stesso modello, che sperimentano incongruenze nel valore delle immagini di ciascun punto (x, y). Ogni funzione che soddisfa questo modello sarà una primitiva individuale e l'insieme di tutte le funzioni è noto come integrale indefinito.
Il valore di costante di integrazione sarà quello che differenzia ogni funzione nella pratica.
Il costante di integrazione suggerisce uno spostamento verticale in tutti i grafici che rappresentano le primitive di una funzione. Dove si osserva il parallelismo tra di loro, e il fatto che C è il valore dello spostamento.
Secondo pratiche comuni il costante di integrazione è indicato dalla lettera "C" dopo un addendo, anche se in pratica non importa se la costante viene aggiunta o sottratta. Il suo valore reale può essere trovato in vari modi a seconda delle diverse condizioni iniziali.
Si è già parlato di come il file costante di integrazione è applicato nel ramo di calcolo integrale; Rappresentare una famiglia di curve che definiscono l'integrale indefinito. Ma molte altre scienze e rami hanno assegnato valori molto interessanti e pratici del costante di integrazione, che hanno facilitato lo sviluppo di molteplici studi.
Nel fisico la costante di integrazione può assumere più valori a seconda della natura dei dati. Un esempio molto comune è conoscere la funzione V (t) che rappresenta il velocità di una particella rispetto al tempo t. È noto che calcolando una primitiva di V (t) si ottiene la funzione R (t) che rappresenta il posizione particella rispetto al tempo.
Il costante di integrazione rappresenterà il valore della posizione iniziale, cioè al tempo t = 0.
Allo stesso modo, se la funzione è nota A) che rappresenta il accelerazione della particella rispetto al tempo. La primitiva di A (t) risulterà nella funzione V (t), dove il costante di integrazione sarà il valore della velocità iniziale V0.
Nel economia, ottenendo per integrazione la primitiva di una funzione di costo. Il costante di integrazione rappresenterà costi fissi. E tante altre applicazioni che meritano il calcolo differenziale e integrale.
Per calcolare il costante di integrazione, sarà sempre necessario conoscere il file condizioni iniziali. Che sono responsabili della definizione di quale delle possibili primitive è la corrispondente.
In molte applicazioni viene trattata come una variabile indipendente al tempo (t), dove la costante C prende i valori che definiscono il condizioni iniziali del caso particolare.
Se prendiamo l'esempio iniziale: ∫ (2x + 1) dx = xDue + X + C
Una condizione iniziale valida può essere la condizione che il grafico passi per una coordinata specifica. Ad esempio, è noto che la primitiva (xDue + X + C) passa per il punto (1, 2)
F (x) = xDue + X + C; questa è la soluzione generale
F (1) = 2
Sostituiamo la soluzione generale in questa uguaglianza
F (1) = (1)Due + (1) + C = 2
Da dove ne consegue facilmente C = 0
In questo modo la primitiva corrispondente per questo caso è F (x) = xDue + X
Esistono diversi tipi di esercizi numerici con cui funzionano costanti di integrazione. In effetti, il calcolo differenziale e integrale non smette di essere applicato nelle indagini attuali. A diversi livelli accademici possono essere trovati; dal calcolo iniziale, attraverso la fisica, la chimica, la biologia, l'economia, tra gli altri.
Si vede anche nello studio di equazioni differenziali, dove il costante di integrazione Può assumere valori e soluzioni differenti, questo a causa delle molteplici derivazioni e integrazioni che si effettuano in questa materia.
È noto che in un moto rettilineo uniformemente variato l'accelerazione è un valore costante. Questo è il caso del lancio del proiettile, dove l'accelerazione sarà la gravità
g = - 10 m / sDue
È anche noto che l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, il che indica una doppia integrazione nella risoluzione dell'esercizio, ottenendo così due costanti di integrazione.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C1
Le condizioni iniziali dell'esercizio indicano che la velocità iniziale è V0 = 25 m / s. Questa è la velocità nell'istante di tempo t = 0. In questo modo si accerta che:
V (0) = 25 = -10 (0) + C1 Y C1 = 25
La funzione di velocità in fase di definizione
V (t) = -10t + 25; La somiglianza con la formula MRUV (VF = V0 + a x t)
In maniera omologa si procede ad integrare la funzione velocità per ottenere l'espressione che definisce la posizione:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5tDue + 25t + CDue
R (t) = -5tDue + 25t + CDue (primitiva di posizione)
La posizione iniziale R (0) = 30 m è nota. Quindi viene calcolata la particolare primitiva del proiettile.
R (0) = 30 m = -5 (0)Due + 25 (0) + CDue . Dove CDue = 30
La prima sezione è stata risolta da allora R (t) = -5tDue + 25t + 30 ; Questa espressione è omologa alla formula di spostamento in MRUV R (t) = R0 + V0t - gtDue/Due
Per la seconda sezione, l'equazione quadratica deve essere risolta: -5tDue + 25t + 30 = 0
Poiché questo condiziona la particella a raggiungere il suolo (posizione = 0)
In realtà, l'equazione di 2 ° grado ci dà 2 soluzioni T: 6, -1. Il valore t = -1 viene ignorato perché si tratta di unità di tempo il cui dominio non include numeri negativi.
In questo modo si risolve la seconda sezione dove il tempo di volo è pari a 6 secondi.
Con l'informazione della derivata seconda f "(x) = 4, inizia il processo di antiderivazione
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫4 dx = 4x + C1
Quindi, conoscendo la condizione f '(2) = 2, procediamo:
4 (2) + C1 = 2
C1 = -6 ef '(x) = 4x - 8
Procedi allo stesso modo per il secondo costante di integrazione
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2xDue - 8x + CDue
La condizione iniziale f (0) = 7 è nota e procediamo:
2 (0)Due - 8 (0) + CDue = 7
CDue = 7 e f (x) = 2xDue - 8x + 7
In modo simile al problema precedente definiamo le derivate prime e la funzione originale dalle condizioni iniziali.
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫ (xDue) dx = (x3/ 3) + C1
Con la condizione f '(0) = 6 procediamo:
(03/ 3) + C1 = 6; Dove1 = 6 ef '(x) = (x3/ 3) + 6
Poi il secondo costante di integrazione
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ [(x3/ 3) + 6] dx = (x4/ 12) + 6x + CDue
La condizione iniziale f (0) = 3 è nota e procediamo:
[(0)4/ 12] + 6 (0) + CDue = 3; DoveDue = 3
Così otteniamo il particolare primitivo
f (x) = (X4/ 12) + 6x + 3
È importante ricordare che le derivate si riferiscono alla pendenza della retta tangente alla curva in un dato punto. Dove non è corretto presumere che il grafico della derivata tocchi il punto indicato, poiché questo appartiene al grafico della funzione primitiva.
In questo modo esprimiamo l'equazione differenziale come segue:
dy = (2x - 2) dx ; quindi quando si applicano i criteri di anti-derivazione abbiamo:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
y = xDue - 2x + C
Applicazione della condizione iniziale:
2 = (3)Due - 2 (3) + C
C = -1
È ottenuto: f (x) = xDue - 2x - 1
Esprimiamo l'equazione differenziale come segue:
dy = (3xDue - 1) dx ; quindi quando si applicano i criteri di anti-derivazione abbiamo:
∫dy = ∫ (3xDue - 1) dx
y = x3 - x + C
Applicazione della condizione iniziale:
2 = (0)Due - 2 (0) + C
C = 2
È ottenuto: f (x) = x3 - x + 2
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