Un concetto statistico chiave è quello di variabile casuale, che è inteso come il risultato numerico di un esperimento casuale ed è così chiamato perché appunto il risultato è sconosciuto a priori, o in altre parole, è il risultato del caso.
Buoni esempi di questo tipo di esperimenti sono i lanci di monete e dadi (eseguiti onestamente), perché il risultato di un particolare lancio non è noto fino a quando non viene fatto..
Ad esempio, lanciare contemporaneamente due monete una volta, o lanciare una moneta due volte, potrebbe avere i seguenti risultati, denotando l'aspetto di una testa come C e di un sigillo come S:
Molte variabili possono essere definite per un esperimento casuale, per questo in particolare si potrebbe definire il "numero di teste" e il suo risultato è del tutto casuale.
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Il modo usuale per denotare variabili casuali è attraverso le ultime due lettere dell'alfabeto: X e Y, in maiuscolo. In questo modo, continuando con l'esempio delle monete, la variabile casuale X può essere definita così:
X = numero di teste ottenute con un lancio simultaneo di due monete.
Questa variabile può assumere i seguenti valori numerici: 0, 1 e 2 e ciascuno di essi ha una probabilità di accadimento associata. L'insieme di queste probabilità è noto come distribuzione di probabilità e indica i possibili valori di X e il modo in cui assegnare la probabilità a ciascuno.
Le distribuzioni di probabilità possono essere fornite sotto forma di un grafico, una tabella o anche una formula.
Alcuni sono molto importanti e vengono studiati assiduamente, perché molte variabili casuali vi aderiscono. Per n lanci di monete onesti, viene chiamata la distribuzione dell'esperimento distribuzione binomiale.
Le variabili casuali possono essere di due tipi:
È importante distinguere tra un tipo e l'altro, poiché la forma di trattamento della variabile dipende da questo..
Le variabili casuali discrete sono caratterizzate dall'essere numerabili e dall'assunzione di valori molto specifici e determinati. Nel lancio delle due monete, la variabile casuale X = numero di teste ottenute in un singolo lancio, è discreta, poiché i valori che può assumere sono 0, 1 e 2 e nessun altro.
Anche il risultato del lancio di due dadi è un esperimento casuale, in cui è possibile definire variabili casuali discrete, come questa:
Y = "la somma di entrambi i lanci è 7"
Un 7 può essere ottenuto come somma utilizzando sei diverse possibilità del primo stampo e del secondo stampo:
L'insieme dei risultati favorevoli per l'ottenimento di un 7 può essere riassunto come segue:
(1,6); (2.5); (3,4); (4.3); (5, 2); (6.1)
La probabilità che si verifichi uno qualsiasi di questi eventi è 1/6, poiché secondo la definizione classica di probabilità, gli esiti possibili sono 36, di cui 6 favorevoli all'evento in questione:
P (ottieni 7) = 6/36 = 1/6
Altri esempi di variabili casuali discrete sono:
Sebbene in questi esempi i valori delle variabili siano numeri naturali, cosa molto comune, va notato che le variabili casuali discrete possono anche assumere valori decimali.
Le variabili casuali continue assumono valori infiniti, senza salti o spazi tra di loro, quindi a differenza delle variabili casuali discrete, che sono numerabili, quelle continue si dice che siano innumerevoli.
Quindi per rappresentare variabili continue si usa un intervallo, ad esempio l'intervallo [a, b], entro il quale si trovano tutti i possibili valori di detta variabile.
Un esempio di variabile casuale continua è la quantità di latte che una mucca dà al giorno. Tra il valore considerato minimo e massimo, ad esempio in millilitri, una mucca può dare una qualsiasi quantità di latte al giorno.
Per queste variabili, la distribuzione di probabilità è una funzione chiamata funzione densità di probabilità.
Nei seguenti esempi di variabili casuali, sono discrete e ci sono anche continue. Per sapere di che tasso variabile è necessario specificare se la variabile in questione è numerabile oppure no, poiché questa è la caratteristica che differenzia le variabili discrete da quelle continue..
Questa è una variabile casuale discreta, i cui valori sono i numeri naturali con 0 incluso. È noto per essere discreto, non perché i suoi valori sono numeri interi, ma perché possono essere contati, anche se il conteggio risulta in numeri molto grandi..
In effetti, può darsi che nel giorno designato per contare le persone, nessuno utilizzi la metropolitana, anche se non è il più probabile. In questo caso la variabile casuale vale 0, ma sicuramente molte persone viaggeranno in metropolitana.
Supponendo che N persone abbiano viaggiato quel giorno, la variabile casuale "X = numero di persone che usano la metropolitana in un giorno" assume valori interi compresi tra 0 e N.
Anche questa è una variabile casuale discreta. Il valore massimo che raggiunge è il numero totale di studenti iscritti e il minimo è 0, se il giorno in cui è stato effettuato il conteggio nessuno studente ha potuto frequentare la lezione.
Ad esempio, supponendo che la classe abbia un totale di 25 studenti iscritti, questa variabile casuale assume i valori:
0, 1, 2, 3… 25
In una fattoria ci sono un certo numero di mucche, alcune sono piccole e pesano meno, altre sono grandi e pesano di più. Tra la vacca con il peso più basso e quella con il peso più alto, c'è tutta una serie di possibilità per i pesi di una vacca scelti a caso, quindi è una variabile casuale discreta.
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