UN triangolo equilatero è un poligono con tre lati, dove tutti sono uguali; cioè hanno la stessa misura. Per questa caratteristica è stato dato il nome di equilatero (lati uguali).
I triangoli sono poligoni considerati i più semplici in geometria, perché sono formati da tre lati, tre angoli e tre vertici. Nel caso del triangolo equilatero, poiché ha lati uguali, implica che anche i suoi tre angoli saranno uguali..
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I triangoli equilateri sono figure piatte e chiuse, composte da tre segmenti di linea. I triangoli sono classificati in base alle loro caratteristiche, in relazione ai loro lati e angoli; l'equilatero è stato classificato utilizzando come parametro la misura dei suoi lati, poiché questi sono esattamente gli stessi, cioè sono congruenti.
Il triangolo equilatero è un caso particolare del triangolo isoscele perché due dei suoi lati sono congruenti. Questo è il motivo per cui tutti i triangoli equilateri sono anche isosceli, ma non tutti i triangoli isosceli saranno equilateri.
In questo modo, i triangoli equilateri hanno le stesse proprietà di un triangolo isoscele..
I triangoli equilateri possono anche essere classificati in base alla larghezza dei loro angoli interni come un triangolo acuto equilatero, che ha tre lati e tre angoli interni con la stessa misura. Gli angoli saranno acuti, cioè saranno inferiori a 90o.
I triangoli in generale hanno diverse linee e punti che lo compongono. Sono usati per calcolare l'area, i lati, gli angoli, la mediana, la bisettrice, la bisettrice e l'altezza..
Nel grafico seguente vediamo un triangolo scaleno in cui sono dettagliati alcuni dei componenti citati
La bisettrice divide il lato di un triangolo in due parti. Nei triangoli equilateri quel lato sarà diviso in due parti esattamente uguali, cioè il triangolo sarà diviso in due triangoli rettangoli congruenti.
Pertanto, la bisettrice disegnata da qualsiasi angolo di un triangolo equilatero coincide con la mediana e la bisettrice del lato opposto a tale angolo..
Esempio:
La figura seguente mostra il triangolo ABC con un punto medio D che divide uno dei suoi lati in due segmenti AD e BD.
Tracciando una linea dal punto D al vertice opposto, per definizione si ottiene la mediana CD, che è relativa al vertice C e lato AB.
Poiché il segmento CD divide il triangolo ABC in due triangoli uguali CDB e CDA, significa che si avrà il caso di congruenza: lato, angolo, lato e quindi CD sarà anche la bisettrice di BCD.
Tracciare il segmento CD divide l'angolo del vertice in due angoli uguali di 30o, l'angolo del vertice A misura ancora 60o e la linea CD forma un angolo di 90o rispetto al punto medio D.
Il segmento CD forma angoli che hanno la stessa misura per i triangoli ADC e BDC, cioè sono supplementari in modo tale che la misura di ciascuno sarà:
Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o
Due * Med. (ADC) = 180o
Med. (ADC) = 180o ÷ 2
Med. (ADC) = 90o.
E così, abbiamo quel segmento CD che è anche la bisettrice del lato AB.
Disegnando la bisettrice dal vertice di un angolo al punto medio del lato opposto, divide il triangolo equilatero in due triangoli congruenti.
In modo tale da formare un angolo di 90o (giusto). Ciò indica che quel segmento di linea è totalmente perpendicolare a quel lato e per definizione quella linea sarebbe l'altezza.
In questo modo, la bisettrice di qualsiasi angolo di un triangolo equilatero coincide con l'altezza relativa al lato opposto di quell'angolo..
Poiché l'altezza, la mediana, la bisettrice e la bisettrice sono rappresentate dallo stesso segmento contemporaneamente, in un triangolo equilatero i punti di incontro di questi segmenti - l'ortocentro, la bisettrice, l'incentro e il circumcentro - si troveranno nello stesso punto:
La proprietà principale dei triangoli equilateri è che saranno sempre triangoli isosceli, poiché gli isosceli sono formati da due lati congruenti ed equilateri da tre..
In questo modo, i triangoli equilateri hanno ereditato tutte le proprietà del triangolo isoscele:
La somma degli angoli interni è sempre pari a 180o, e poiché tutti i suoi angoli sono congruenti, ciascuno di questi misurerà 60o.
La somma degli angoli esterni sarà sempre uguale a 360o, quindi ogni angolo esterno misurerà 120o. Questo perché gli angoli interni ed esterni sono supplementari, cioè sommandoli saranno sempre pari a 180o.
La somma delle misure di due lati deve essere sempre maggiore della misura del terzo lato, cioè a + b> c, dove a, bec sono le misure di ogni lato.
I triangoli equilateri hanno tutti e tre i lati con la stessa misura o lunghezza; cioè, sono congruenti. Pertanto, nell'elemento precedente abbiamo che a = b = c.
I triangoli equilateri sono anche noti come triangoli equiangolari, perché i loro tre angoli interni sono congruenti tra loro. Questo perché anche tutti i suoi lati hanno la stessa misura.
Il perimetro di un poligono si calcola sommando i lati. Poiché in questo caso il triangolo equilatero ha tutti i suoi lati con la stessa misura, il suo perimetro viene calcolato con la seguente formula:
P = 3 * lato.
Poiché l'altezza è la linea perpendicolare alla base, la divide in due parti uguali estendendosi al vertice opposto. Ecco come si formano due triangoli rettangoli uguali.
L'altezza (h) rappresenta la gamba opposta (a), metà del lato AC alla gamba adiacente (b) e il lato BC rappresenta l'ipotenusa (c).
Usando il teorema di Pitagora, il valore dell'altezza può essere determinato:
perDue + bDue = cDue
Dove:
perDue = altezza (h).
bDue = lato b / 2.
cDue = lato a.
Sostituendo questi valori nel teorema di Pitagora e risolvendo l'altezza, abbiamo:
hDue + ( l / Due)Due = lDue
hDue + lDue/ 4 = lDue
hDue = lDue - lDue/ 4
hDue = (4*lDue - lDue) / 4
hDue = 3*lDue /4
√hDue = √ (3*lDue /4)
Se si conosce l'angolo formato dai lati congruenti, è possibile calcolare l'altezza (rappresentata da una gamba) applicando i rapporti trigonometrici.
Le gambe vengono chiamate opposte o adiacenti a seconda dell'angolo preso come riferimento..
Ad esempio, nella figura sopra la gamba h sarà opposta per l'angolo C, ma adiacente all'angolo B:
Pertanto, l'altezza può essere calcolata con:
Ci sono casi in cui non si conoscono le misure dei lati del triangolo, ma la loro altezza e gli angoli formati ai vertici.
Per determinare l'area in questi casi è necessario applicare i rapporti trigonometrici.
Conoscendo l'angolo di uno dei suoi vertici, si individuano le gambe e si utilizza il corrispondente rapporto trigonometrico:
Pertanto, la gamba AB sarà opposta per l'angolo C, ma adiacente all'angolo A. A seconda del lato o della gamba corrispondente all'altezza, l'altro lato viene liberato per ottenere il suo valore, sapendo che in un triangolo equilatero i tre lati avranno sempre la stessa misura.
L'area dei triangoli si calcola sempre con la stessa formula, moltiplicando la base per l'altezza e dividendo per due:
Area = (b * h) ÷ 2
Sapendo che l'altezza è data dalla formula:
I lati di un triangolo equilatero ABC misurano 20 cm ciascuno. Calcola l'altezza e l'area di quel poligono.
Per determinare l'area di questo triangolo equilatero, è necessario calcolare l'altezza, sapendo che quando lo si disegna, divide il triangolo in due triangoli rettangoli uguali.
In questo modo, il teorema di Pitagora può essere utilizzato per trovarlo:
perDue + bDue = cDue
Dove:
a = 20/2 = 10 cm.
b = altezza.
c = 20 cm.
I dati sono sostituiti nel teorema:
10Due + bDue = 20Due
100 cm + bDue = 400 cm
bDue = (400-100) cm
bDue = 300 cm
b = √300 cm
b = 17,32 cm.
Cioè, l'altezza del triangolo è pari a 17,32 cm. Ora è possibile calcolare l'area del triangolo dato sostituendo nella formula:
Area = (b * h) ÷ 2
Area = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2
Superficie = 346,40 cmDue ÷ 2
Area = 173,20 cmDue.
Un altro modo più semplice per risolvere l'esercizio è sostituire i dati nella formula diretta per l'area, dove anche il valore dell'altezza si trova implicitamente:
I fiori saranno piantati su un pezzo di terra che ha la forma di un triangolo equilatero. Se il perimetro di quel terreno è pari a 450 m, calcola il numero di metri quadrati che i fiori occuperanno.
Sapendo che il perimetro di un triangolo corrisponde alla somma dei suoi tre lati e poiché il terreno ha la forma di un triangolo equilatero, i tre lati di questo avranno la stessa misura o lunghezza:
P = lato + lato + lato = 3 * l
3 * l = 450 m.
l = 450 m ÷ 3
l = 150 m.
Ora è solo necessario calcolare l'altezza di quel triangolo.
L'altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli congruenti, dove una gamba rappresenta l'altezza e l'altra metà la base. Con il teorema di Pitagora, l'altezza può essere determinata:
perDue + bDue = cDue
Dove:
per = 150 m ÷ 2 = 75 m.
c = 150 m.
b = altezza
I dati sono sostituiti nel teorema:
(75 m)Due + bDue = (150 m)Due
5.625 m + bDue = 22.500 m
bDue = 22.500 m - 5.625 m
bDue = 16.875 m
b = √16,875 m
b = 129,90 m.
Quindi l'area che i fiori occuperanno sarà:
Area = b * h ÷ 2
Superficie = (150 m * 129,9 m) ÷ 2
Superficie = (19.485 mDue) ÷ 2
Area = 9.742,5 mDue
Il triangolo equilatero ABC è diviso da un segmento di retta che va dal suo vertice C al punto medio D, situato sul lato opposto (AB). Questo segmento misura 62 metri. Calcola l'area e il perimetro di quel triangolo equilatero.
Sapendo che il triangolo equilatero è diviso da un segmento di retta che corrisponde all'altezza, formando così due triangoli rettangoli congruenti, questo a sua volta divide anche l'angolo del vertice C in due angoli della stessa misura, 30o ogni.
L'altezza forma un angolo di 90o rispetto al segmento AB, e l'angolo del vertice A misurerà quindi 60o.
Quindi utilizzando l'angolo di 30 come riferimentoo, l'altezza CD è impostata come la gamba adiacente all'angolo e BC come l'ipotenusa.
Da questi dati è possibile determinare il valore di uno dei lati del triangolo, utilizzando i rapporti trigonometrici:
Poiché nel triangolo equilatero tutti i lati hanno esattamente la stessa misura o lunghezza, significa che ogni lato del triangolo equilatero ABC è uguale a 71,6 metri. Sapendo ciò, è possibile determinarne l'area:
Area = b * h ÷ 2
Area = (71,6 m * 62 m) ÷ 2
Superficie = 4.438,6 mDue ÷ 2
Superficie = 2.219,3 mDue
Il perimetro è dato dalla somma dei suoi tre lati:
P = lato + lato + lato = 3 * l
P = 3*l
P = 3 * 71,6 m
P = 214,8 m.
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