Il simmetria assiale Si verifica quando i punti di una figura coincidono con i punti di un'altra figura per mezzo di una bisettrice retta chiamata asse di simmetria. È anche chiamata simmetria radiale, rotazionale o cilindrica..
Di solito è applicato in figure geometriche, ma è facilmente osservabile in natura, poiché ci sono animali come farfalle, scorpioni, coccinelle o umani che presentano simmetria assiale..
Indice articolo
Per trovare la simmetria assiale P 'di un punto P rispetto ad una retta (L) si effettuano le seguenti operazioni geometriche:
1.- Si traccia la perpendicolare alla retta (L) che passa per il punto P..
2.- L'intercettazione delle due linee determina un punto O.
3.- Viene misurata la lunghezza del segmento PO, quindi questa lunghezza viene copiata sulla linea (PO) partendo da O nella direzione da P a O determinando il punto P '.
4.- Il punto P 'è la simmetria assiale del punto P rispetto all'asse (L), poiché la linea (L) è la mediatrice del segmento PP', dove O è il punto medio di detto segmento.
- La simmetria assiale è isometrica, ovvero le distanze di una figura geometrica e la sua simmetria corrispondente vengono preservate.
- La misura di un angolo e quella del suo simmetrico sono uguali.
- La simmetria assiale di un punto sull'asse di simmetria è il punto stesso.
- La linea simmetrica di una linea parallela all'asse di simmetria è anche una linea parallela a detto asse.
- Una linea secante rispetto all'asse di simmetria ha come linea simmetrica un'altra linea secante che, a sua volta, interseca l'asse di simmetria nello stesso punto della linea originale.
- L'immagine simmetrica di una linea è un'altra linea che forma un angolo con l'asse di simmetria della stessa misura di quella della linea originale.
- L'immagine simmetrica di una linea perpendicolare all'asse di simmetria è un'altra linea che si sovrappone alla prima.
- Una linea e la sua linea simmetrica assiale formano un angolo la cui bisettrice è l'asse di simmetria.
La natura mostra abbondanti esempi di simmetria assiale. Ad esempio, puoi vedere la simmetria di volti, insetti come le farfalle, il riflesso su superfici di acque calme e specchi o le foglie delle piante, tra molti altri..
Abbiamo il triangolo dei vertici A, B e C le cui coordinate cartesiane sono rispettivamente A = (2, 5), B = (1, 1) e C = (3,3). Trova le coordinate cartesiane del triangolo simmetrico rispetto all'asse Y (asse delle ordinate).
Soluzione: Se un punto P ha coordinate (x, y), la sua simmetria rispetto all'asse delle ordinate (asse Y) è P '= (- x, y). Cioè, il valore della sua ascissa cambia segno, mentre il valore dell'ordinata rimane lo stesso.
In questo caso, il triangolo simmetrico con vertici A ', B' e C 'avrà coordinate:
A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) e C' = (- 3, 3) come si può vedere in figura 6.
Con riferimento al triangolo ABC e al suo simmetrico A'B'C 'dell'esercizio 1, verificare che i lati corrispondenti del triangolo originale e il suo simmetrico abbiano la stessa lunghezza.
Soluzione: Per trovare la distanza o la lunghezza dei lati usiamo la formula della distanza euclidea:
d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123
La lunghezza del lato simmetrico corrispondente A'B 'è calcolata di seguito:
d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123
In questo modo si verifica che la simmetria assiale preserva la distanza tra due punti. La procedura può essere ripetuta per gli altri due lati del triangolo e il suo simmetrico per verificare l'invarianza in lunghezza. Ad esempio | AC | = | A'C '| = √5 = 2.236.
In relazione al triangolo ABC e al suo simmetrico A'B'C 'dell'esercizio 1, verifica che gli angoli corrispondenti del triangolo originale e del suo simmetrico abbiano la stessa misura angolare.
Soluzione: Per determinare le misure degli angoli BAC e B'A'C ', verrà calcolato prima il prodotto scalare dei vettori AB con AC e poi il prodotto scalare di A'B ' con AC '.
Ricordando che:
A = (2, 5), B = (1, 1) e C = (3,3)
A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) e C' = (- 3, 3).
Esso ha:
AB = <1-2, 1-5> Y AC = <3-2, 3-5>
allo stesso modo
A'B ' = <-1+2, 1-5> Y AC = <-3+2, 3-5>
Quindi vengono trovati i seguenti prodotti scalari:
AB⋅AC = <-1, -4>⋅<1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7
Allo stesso modo
A'B'⋅A'C ' = <1, -4>⋅<-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7
La misura dell'angolo BAC è:
∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (|AB |⋅ |AC |)) =
ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40,6º
Allo stesso modo, la misura dell'angolo B'A'C 'è:
∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C ' / (|A'B '|⋅ |A'C '|)) =
ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40,6º
Concludendo, la simmetria assiale preserva la misura dell'angolo.
Sia un punto P di coordinate (a, b). Trova le coordinate della sua simmetria assiale P 'rispetto alla linea y = x.
Soluzione: Chiameremo (a ', b') le coordinate del punto simmetrico P 'rispetto alla retta y = x. Il punto medio M del segmento PP 'ha coordinate ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) ed è anche sulla linea y = x, quindi è vera la seguente uguaglianza:
a + a '= b + b'
D'altra parte, il segmento PP 'ha pendenza -1 perché è perpendicolare alla retta y = x con pendenza 1, quindi vale la seguente uguaglianza:
b - b '= a' -a
Risolvendo per le due precedenti uguaglianze a 'eb' si conclude che:
a '= be che b' = a.
Cioè, dato un punto P (a, b), la sua simmetria assiale rispetto alla retta y = x è P '(b, a).
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