Il rapporti di proporzionalità sono collegamenti tra due o più variabili, in modo tale che quando una delle quantità varia, cambia anche il valore delle altre. Ad esempio, se uno aumenta, gli altri possono aumentare o diminuire, ma in quantità uniforme..
I matematici della Grecia antica si resero conto che alcune variabili erano correlate in un modo molto preciso. Si sono resi conto che se un cerchio è il doppio del diametro di un altro, avrà una circonferenza doppia rispetto alla lunghezza.
E se il diametro è triplicato, anche il contorno della circonferenza triplicherà. Ciò significa che un aumento del diametro produce un aumento proporzionale della dimensione della circonferenza..
Possiamo quindi affermare che la lunghezza della circonferenza L è proporzionale al suo diametro D, che si esprime come segue:
L ∝ D
Dove si legge il simbolo ∝ "direttamente proporzionale a". Per cambiare il simbolo di proporzionalità in quello di uguaglianza e incorporare valori numerici, è necessario determinare il legame tra le variabili, chiamato costante di proporzionalità.
Dopo aver effettuato molte misurazioni, gli antichi matematici stabilirono che la costante di proporzionalità tra la dimensione L della circonferenza, e il diametro D della stessa, era il numero 3.1416 ... Le ellissi indicano un numero infinito di cifre decimali.
Questo valore non è altro che il famoso numero π (pi) e in questo modo scriviamo:
L = π.D
In questo modo, il rapporto tra la lunghezza e il diametro di una circonferenza è uguale al rapporto tra la lunghezza e il diametro di un'altra. E la cosa migliore è che ora abbiamo un modo per calcolare la lunghezza di qualsiasi circonferenza solo conoscendone il diametro.
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Nella scienza (e anche nella vita di tutti i giorni) è molto importante trovare relazioni tra variabili, sapere come i cambiamenti in una di esse influenzano l'altra. Per esempio:
-Se hai bisogno di 3 tazze di farina per fare una dozzina di biscotti. Quante tazze ci vogliono per fare 2 dozzine e mezza?.
-Sapendo che un oggetto sul pianeta Mercurio pesa 4 volte meno che sulla Terra, quanto peserà un'auto di 1,5 tonnellate su Mercurio??
-In che modo la variazione della forza applicata influisce sull'accelerazione del corpo su cui viene applicata??
-Se un veicolo viaggia con moto rettilineo uniforme su un'autostrada e sappiamo che percorre 30 km in 10 minuti, quale sarà la distanza percorsa dopo 20 minuti?
-Quando abbiamo un filo attraverso il quale passa una corrente elettrica, come varia la tensione tra le sue estremità se aumenta?
-Se il diametro di un cerchio è raddoppiato, come viene influenzata la sua area??
-In che modo la distanza influisce sull'intensità del campo elettrico prodotto da una carica puntiforme?
La risposta sta nelle relazioni di proporzionalità, ma non tutte le relazioni sono dello stesso tipo. Poi li troveremo per tutte le situazioni qui sollevate.
Due variabili x e y sono in proporzione diretta se sono correlate da:
y = kx
Dove k è la costante di proporzionalità. Un esempio è il rapporto tra le quantità di farina e biscotti. Se rappresentiamo graficamente queste variabili, otteniamo una linea retta come quella mostrata in figura:
Se y sono le tazze di farina ex sono le dozzine di biscotti, la relazione tra loro è:
y = 3x
Per x = 1 dozzina abbiamo bisogno di y = 3 tazze di farina. E per x = 2,5 dozzine, y = 7,5 tazze di farina sono necessarie.
Ma abbiamo anche:
-Accelerazione per che un corpo sperimenta è proporzionale alla forza F agendo su di essa, essendo la massa del corpo, chiamata m, la costante di proporzionalità:
F = mper
Pertanto, maggiore è la forza applicata, maggiore è l'accelerazione prodotta..
-Nei conduttori ohmici, la tensione V tra le loro estremità è proporzionale alla corrente che ho applicato. La costante di proporzionalità è la resistenza R del conduttore:
V = RI
-Quando un oggetto si muove con moto rettilineo uniforme, la distanza d è proporzionale al tempo t, essendo la velocità v la costante di proporzionalità:
d = v.t
A volte troviamo due quantità tali che un aumento di uno produce a diminuire proporzionale nell'altro. Questa dipendenza è chiamata rapporto inverso.
Ad esempio, nell'equazione precedente, il tempo t necessario per percorrere una certa distanza d è inversamente proporzionale alla velocità v del viaggio:
t = d / v
E così mentre più alto è la velocità v, Di meno tempo impiegato dall'auto per percorrere la distanza d. Se, ad esempio, la velocità viene raddoppiata, il tempo viene dimezzato.
Quando due variabili x e y sono in proporzione inversa, possiamo scrivere:
y = k / x
Essendo k la costante di proporzionalità. Il grafico di questa dipendenza è:
In uno degli esempi menzionati in precedenza, ci chiedevamo cosa succede all'area del cerchio quando il raggio aumenta. La risposta è che l'area è direttamente proporzionale al quadrato del raggio, dove π è la costante di proporzionalità:
A = πRDue
Nel caso in cui il raggio venga raddoppiato, l'area aumenterà di un fattore 4.
E nel caso del campo elettrico E prodotto da una carica puntiforme che cosa, è noto che l'intensità diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza r al carico che cosa:
E = ke q / rDue
Ma possiamo anche affermare che l'intensità del campo è direttamente proporzionale all'entità della carica, essendo la costante di proporzionalità ke, la costante elettrostatica.
Altre proporzionalità presentate anche in Science sono la proporzionalità esponenziale e la proporzionalità logaritmica. Nel primo caso le variabili x e y sono correlate da:
y = k.aX
Dove a è la base, un numero positivo diverso da 0, che di solito è 10 o il numero e. Ad esempio, la crescita esponenziale dei batteri ha questa forma.
Nel secondo caso la relazione tra le variabili è:
y = k.logper X
Anche in questo caso a è la base del logaritmo, che spesso è 10 (logaritmo decimale) o e (logaritmo naturale).
Sapendo che un oggetto pesa 4 volte meno sul pianeta Mercurio che sulla Terra, quanto peserebbe un'auto di 1,5 tonnellate su Mercurio??
Peso su mercurio = (1/4) Peso sulla Terra = (1/4) x 1,5 tonnellate = 0,375 tonnellate.
Per una festa alcuni amici decidono di preparare il succo di concentrato di frutta. Le istruzioni sulla confezione dicono che un bicchiere di concentrato fa 15 bicchieri di succo. Quanto concentrato è necessario per preparare 110 bicchieri di succo?
Sia y il numero di bicchieri di succo ex il numero di bicchieri di concentrato. Sono correlati da:
y = kx
Sostituendo i valori y = 15 e x = 1, si risolve la costante k:
k = y / x = 15/1 = 15
Perciò:
110 = 15 x
x = 110/15 = 7,33 bicchieri di concentrato di frutta.
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