Il rapporti trigonometrici sono i quozienti o rapporti che possono essere fatti con il valore dei lati di un triangolo rettangolo. Questi lati sono: due gambe che formano 90 ° l'una con l'altra e l'ipotenusa, che forma l'angolo acuto θ con una delle gambe.
Puoi formare 6 quozienti. I loro nomi e le rispettive abbreviazioni sono:
Tutti riferiti all'angolo θ, come mostrato nella figura seguente:
I rapporti trigonometrici di base dell'angolo θ sono sin θ, cos θ e tan θ, mentre i rapporti rimanenti possono essere espressi in termini di questi tre. Dalla tabella sopra si può vedere che:
La dimensione dei lati del triangolo non influenza il valore dei rapporti, poiché due triangoli i cui angoli misurano lo stesso sono triangoli simili ei rispettivi rapporti tra i lati hanno lo stesso valore.
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Ad esempio, calcoliamo i rapporti trigonometrici dell'angolo θ nei seguenti triangoli:
Per il triangolo piccolo abbiamo i tre rapporti fondamentali dell'angolo θ:
sin θ = 3/5
cos θ = 4/5
tg θ = ¾
E ora calcoliamo i tre rapporti di base di θ con il triangolo grande:
sin θ = 30/50 = 3/5
cos θ = 40/50 = 4/5
tg θ = 30/40 = ¾
Un dettaglio importante da tenere in considerazione è il seguente: sia sin θ che cos θ sono inferiori a 1, poiché le gambe misurano sempre meno dell'ipotenusa. Infatti:
sin θ = 3/5 = 0,6
cos θ = 4/5 = 0,8
Negli esercizi seguenti ti viene chiesto di risolvere il triangolo rettangolo, che significa trovare la lunghezza dei suoi tre lati e la misura dei suoi angoli interni, uno dei quali misura sempre 90º.
Il teorema di Pitagora si applica ai triangoli rettangoli ed è molto utile quando due dei lati sono noti e il lato mancante deve essere determinato. Il teorema va così:
IpotenusaDue = gamba oppostaDue + gamba adiacenteDue
Possiamo controllare il teorema di Pitagora con il piccolo triangolo in Figura 2, le cui gambe sono 3 e 4. L'ordine in cui sono prese le gambe non ha importanza. Applicando il teorema abbiamo:
IpotenusaDue = 3Due + 4Due = 9 + 16 = 25
Pertanto l'ipotenusa è:
Ipotenusa = √25 = 5
Calcola i rapporti trigonometrici degli angoli mostrati nei seguenti triangoli:
Questo triangolo è lo stesso della figura 3, ma ci vengono richiesti i rapporti trigonometrici dell'altro angolo acuto, indicato con α. L'affermazione non offre il valore dell'ipotenusa, tuttavia, applicando il teorema di Pitagora sappiamo che vale 5.
I rapporti possono essere calcolati direttamente dalla definizione, avendo cura nella scelta della gamba che è l'opposto dell'angolo α calcolare il peccato α. Vediamo:
E come possiamo vedere, i valori dei rapporti trigonometrici sono stati scambiati. Infatti, α e θ sono angoli complementari, il che significa che si sommano fino a 90º. In questo caso è vero che sin α = cos θ e così via per gli altri motivi.
Calcoliamo l'ipotenusa del triangolo usando il teorema di Pitagora:
IpotenusaDue = 20Due + ventunoDue = 841
√841 = 29
Allora i 6 rapporti trigonometrici dell'angolo β sono:
a) Trova il valore di x nella figura.
b) Calcola il perimetro dei 3 triangoli mostrati.
Nella figura possiamo identificare diversi triangoli, in particolare il triangolo rettangolo di sinistra, che ha una gamba pari a 85 e l'angolo acuto di 60º.
Con le informazioni di questo triangolo possiamo calcolare il lato b. Non è la misura richiesta dalla dichiarazione, ma conoscerne il valore è un passo precedente.
Per determinarlo, il rapporto appropriato è tg 60º = 85 / b, poiché b è la gamba adiacente a 60º e 85 è l'opposto di detto angolo. Perciò:
b = 85 / tg 60º = 85 / √3
Una volta che b è noto, useremo il triangolo rettangolo grande ed esterno, che ha un lato comune con il triangolo precedente: quello che misura 85. Questa è la gamba opposta all'angolo di 30º..
Da qui:
Gamba adiacente a 30º = (85 / √3) + x
Ora possiamo proporre quanto segue:
85 / [(85 / √3) + x] = tg 30º
Quello che sta tra parentesi accade per moltiplicare la tg di 30º:
85 = [(85 / √3) + x]. tg 30º
Applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione:
85 = tg 30 °. (85 / √3) + x. tg 30º
Perciò:
x.tg 30º = 85 - tg 30º. (85 / √3) = 85 [1 - tg 30º. (1 / √3)] = 85. (2/3) = 170/3
Sostituendo il valore tg 30º = √3 / 3:
x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98,15
Lascia che h1 l'ipotenusa di questo triangolo, che può essere calcolata dal teorema di Pitagora o mediante un rapporto trigonometrico, ad esempio cos 60º:
cos 60 º = 85 / √3 / h1→ h1 = (85 / √3) ÷ cos 60º = 98,1
Per trovare P, il perimetro di questo triangolo, aggiungiamo semplicemente i 3 lati:
P = 85 + (85 / √3) + 98,1 = 232,2
Lascia che hDue all'ipotenusa del triangolo esterno:
sin 30º = 85 ÷ hDue
hDue = 85 ÷ peccato 30º = 170
Per questo triangolo il perimetro è:
P = 85 + [(85 / √3) + 98,15] + 170 = 402,22
Conosciamo già tutti i suoi lati di questo triangolo:
P = x + h1 + hDue = 98,15 + 98,15 + 170 = 366,3
I rapporti trigonometrici hanno numerose applicazioni pratiche, ad esempio è possibile calcolare le altezze.
Supponiamo che una torre dell'acqua si trovi a 100 piedi da un edificio. Un osservatore alla finestra nota che l'angolo di elevazione dell'estremità superiore della torre è di 39º, mentre l'angolo di depressione con cui si osserva la base della torre è di 25º. Lui si chiede:
a) Qual è l'altezza della torre?
b) Quanto è alta la finestra?
Dalla gamba opposta a 39º del triangolo superiore otteniamo una parte della risposta:
h1/ 325 = tg 39º → h1 = 325. tg 39º piedi = 263,2 piedi
In modo simile si ottiene il resto dell'altezza della torre, denominata hDue partendo dal triangolo inferiore:
hDue/ 325 = tg 25º → hDue = 325. tg 25º piedi = 151,6 piedi
L'altezza totale della torre è h1 + hDue = 263,2 + 151,6 piedi = 414,7 piedi.
La finestra è precisamente ad un'altezza hDue terra:
hDue = 151,6 piedi.
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