Il ragionamento algebrico Consiste essenzialmente nel comunicare un argomento matematico attraverso un apposito linguaggio, che lo rende più rigoroso e generale, avvalendosi di variabili algebriche e di operazioni definite tra loro. Una caratteristica della matematica è il rigore logico e la tendenza astratta usati nei suoi argomenti..
Per questo è necessario conoscere la "grammatica" corretta da utilizzare in questa scrittura. Inoltre, il ragionamento algebrico evita ambiguità nella giustificazione di un argomento matematico, che è essenziale per dimostrare qualsiasi risultato in matematica..
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Una variabile algebrica è semplicemente una variabile (una lettera o un simbolo) che rappresenta un determinato oggetto matematico..
Ad esempio, le lettere x, y, z sono spesso utilizzate per rappresentare i numeri che soddisfano una data equazione; le lettere p, q r, per rappresentare formule proposizionali (o le rispettive lettere maiuscole per rappresentare proposizioni specifiche); e le lettere A, B, X, ecc., per rappresentare gli insiemi.
Il termine "variabile" sottolinea che l'oggetto in questione non è fisso, ma varia. Questo è il caso di un'equazione, in cui le variabili vengono utilizzate per determinare soluzioni che sono sconosciute in linea di principio.
In termini generali, una variabile algebrica può essere considerata come una lettera che rappresenta un oggetto, fisso o meno..
Proprio come le variabili algebriche vengono utilizzate per rappresentare oggetti matematici, possiamo anche considerare i simboli per rappresentare operazioni matematiche.
Ad esempio, il simbolo "+" rappresenta l'operazione "aggiunta". Altri esempi sono le diverse notazioni simboliche di connettivi logici nel caso di proposizioni e insiemi..
Un'espressione algebrica è una combinazione di variabili algebriche attraverso operazioni definite in precedenza. Esempi di ciò sono le operazioni di base di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra numeri, oi connettivi logici in proposizioni e insiemi..
Il ragionamento algebrico è responsabile dell'espressione di un ragionamento o di un argomento matematico attraverso espressioni algebriche.
Questa forma espressiva aiuta a semplificare e abbreviare la scrittura, poiché si avvale di notazioni simboliche e consente una migliore comprensione del ragionamento, presentandolo in modo più chiaro e preciso.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi che mostrano come viene utilizzato il ragionamento algebrico. Viene utilizzato molto regolarmente per risolvere problemi di logica e ragionamento, come vedremo tra poco..
Considera la ben nota proposizione matematica "la somma di due numeri è commutativa". Vediamo come possiamo esprimere algebricamente questa proposizione: dati due numeri "a" e "b", ciò che significa questa proposizione è che a + b = b + a.
Il ragionamento utilizzato per interpretare la proposizione iniziale ed esprimerla in termini algebrici è il ragionamento algebrico..
Potremmo anche citare la famosa espressione "l'ordine dei fattori non altera il prodotto", che si riferisce al fatto che il prodotto di due numeri è anche commutativo, e algebricamente si esprime come axb = bxa.
Allo stesso modo, le proprietà associative e distributive per l'addizione e il prodotto, in cui sono incluse la sottrazione e la divisione, possono essere (e di fatto sono) espresse algebricamente..
Questo tipo di ragionamento comprende un linguaggio molto ampio ed è utilizzato in molti contesti diversi. A seconda dei casi, in questi contesti è necessario riconoscere schemi, interpretare frasi e generalizzare e formalizzare la loro espressione in termini algebrici, fornendo ragionamenti validi e sequenziali..
Di seguito sono riportati alcuni problemi logici, che risolveremo utilizzando il ragionamento algebrico:
Qual è il numero che, prendendo la metà, è uguale a uno?
Per risolvere questo tipo di esercizio è molto utile rappresentare il valore che si vuole determinare tramite una variabile. In questo caso, vogliamo trovare un numero che, prendendo la metà, dia come risultato il numero uno. Indichiamo con x il numero cercato.
"Prendere la metà" da un numero implica dividerlo per 2. Quindi quanto sopra può essere espresso algebricamente come x / 2 = 1, e il problema si riduce alla risoluzione di un'equazione, che in questo caso è lineare e molto facile da risolvere. Risolvendo per x otteniamo che la soluzione è x = 2.
In conclusione, 2 è il numero che quando si prende la metà è uguale a 1.
Quanti minuti mancano a mezzanotte se 10 minuti fa 5/3 di quello che resta adesso?
Indichiamo con "z" il numero di minuti fino a mezzanotte (qualsiasi altra lettera può essere utilizzata). In altre parole, in questo momento ci sono "z" minuti fino a mezzanotte. Ciò implica che 10 minuti fa mancavano "z + 10" minuti alla mezzanotte, e questo corrisponde a 5/3 di ciò che manca ora; cioè, (5/3) z.
Quindi il problema si riduce alla risoluzione dell'equazione z + 10 = (5/3) z. Moltiplicando entrambi i lati dell'uguaglianza per 3, otteniamo l'equazione 3z + 30 = 5z.
Ora, raggruppando la variabile "z" su un lato dell'uguaglianza, otteniamo che 2z = 15, il che implica che z = 15.
Quindi mancano 15 minuti a mezzanotte.
In una tribù che pratica il baratto, ci sono queste equivalenze:
- Una lancia e una collana vengono scambiate per uno scudo.
- Una lancia è equivalente a un coltello e una collana.
- Due scudi vengono scambiati con tre unità di coltelli.
A quante collane è equivalente una lancia?
Sean:
Co = una collana
L = una lancia
E = uno scudo
Cu = un coltello
Quindi abbiamo le seguenti relazioni:
Co + L = E
L = Co + Cu
2E = 3Cu
Quindi il problema si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni. Nonostante abbia più incognite che equazioni, questo sistema può essere risolto, poiché non ci chiedono una soluzione specifica ma piuttosto una delle variabili in funzione di un'altra. Quello che dobbiamo fare è esprimere "Co" esclusivamente in termini di "L".
Dalla seconda equazione abbiamo che Cu = L - Co. Sostituendo nella terza equazione otteniamo che E = (3L - 3Co) / 2. Infine, sostituendo nella prima equazione e semplificando si ottiene che 5Co = L; cioè, una lancia è uguale a cinque collane.
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