Due o più angoli sono angoli complementari se la somma delle sue misure corrisponde a quella di un angolo retto. Come è noto, la misura di un angolo retto in gradi è 90º, e in radianti è π / 2.
Ad esempio, i due angoli adiacenti all'ipotenusa di un triangolo rettangolo sono tra loro complementari, poiché la somma delle loro misure è di 90º. La figura seguente è molto illustrativa a questo proposito:
Nella figura 1 sono mostrati un totale di quattro angoli. α e β sono complementari poiché lo sono adiacente e la loro somma completa un angolo retto. Allo stesso modo β è complementare a γ, da cui segue che γ e α sono di uguale misura.
Ora, poiché la somma di α e δ è uguale a 90 gradi, si può affermare che α e δ sono complementari. Inoltre, poiché β e δ hanno la stessa complementare α, si può affermare che β e δ hanno la stessa misura.
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Negli esempi seguenti viene chiesto di trovare gli angoli sconosciuti, contrassegnati da punti interrogativi in figura 2.
I seguenti esempi sono in ordine di complessità.
Nella figura sopra abbiamo che gli angoli adiacenti α e 40º si sommano ad un angolo retto. Cioè, α + 40º = 90º, quindi α = 90º- 40º = 50º.
Poiché β è complementare all'angolo di 35º, allora β = 90º - 35º = 55º.
Dalla figura 2C abbiamo che la somma di γ + 15º + 15º = 90º. In altre parole, γ è complementare all'angolo 30º = 15º + 15º. Così che:
γ = 90º - 30º = 60º
In questi esempi sono coinvolti più angoli. Per trovare le incognite, il lettore deve applicare il concetto di angolo complementare tutte le volte che è necessario.
Poiché X è complementare a 72º, ne segue che X = 90º - 72º = 18º. Inoltre Y è complementare con X, quindi Y = 90º - 18º = 72º.
Infine Z è complementare con Y. Da tutto quanto sopra segue che:
Z = 90º - 72º = 18º
Gli angoli δ e 2δ sono complementari, quindi δ + 2δ = 90º.
Cioè, 3δ = 90º, il che implica che δ = 90º / 3 = 30º.
Se chiamiamo l'angolo tra ω e 10º U, allora U è supplementare per entrambi, perché si osserva che la loro somma completa un angolo retto. Da cui segue che U = 80º. Poiché U è complementare con ω, allora ω = 10º.
Di seguito vengono proposti tre esercizi. In tutti si deve trovare il valore degli angoli A e B in gradi, in modo che le relazioni mostrate in figura 3 siano soddisfatte.
Determina i valori degli angoli A e B dalla parte I) della Figura 3.
Dalla figura mostrata si può vedere che A e B sono complementari, quindi A + B = 90º. Sostituiamo l'espressione A e B in funzione di x data nella parte I):
(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90
Quindi i termini vengono raggruppati in modo appropriato e si ottiene una semplice equazione lineare:
(5x / 2) + 22 = 90
Sottraendo 22 in entrambi i membri abbiamo:
5x / 2 = 90-22 = 68
E infine il valore di x viene cancellato:
x = 2 * 68/5 = 136/5
Ora l'angolo A si trova sostituendo il valore di X:
A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.
Mentre l'angolo B è:
B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5º = 69,4º .
Trova i valori degli angoli A e B dell'immagine II, figura 3.
Ancora una volta, poiché A e B sono angoli complementari, abbiamo: A + B = 90º. Sostituendo l'espressione per A e B in funzione di x data nella parte II) della figura 3, abbiamo:
(2x - 10) + (4x +40) = 90
I termini simili vengono raggruppati per ottenere l'equazione:
6 x + 30 = 90
Dividendo entrambi i membri per 6 ottieni:
x + 5 = 15
Da cui segue che x = 10º.
Perciò:
A = 2 * 10 - 10 = 10º
B = 4 * 10 + 40 = 80º.
Determina i valori degli angoli A e B dalla parte III) della Figura 3.
Anche in questo caso la figura viene attentamente analizzata per trovare gli angoli complementari. In questo caso abbiamo che A + B = 90 gradi. Sostituendo l'espressione per A e B in funzione di x data in figura, abbiamo:
(-x +45) + (4x -15) = 90
3 x + 30 = 90
Dividendo entrambi i membri per 3 si ottiene quanto segue:
x + 10 = 30
Da dove segue che x = 20º.
In altre parole, l'angolo A = -20 +45 = 25º. E da parte sua: B = 4 * 20-15 = 65º.
Si dice che siano due angoli lati perpendicolari se ogni lato ha la sua corrispondente perpendicolare sull'altro. La figura seguente chiarisce il concetto:
Nella figura 4 si osservano ad esempio gli angoli α e θ. Notare ora che ogni angolo ha la sua corrispondente perpendicolare all'altro angolo.
Si vede anche che α e θ hanno lo stesso angolo complementare z, quindi l'osservatore conclude immediatamente che α e θ hanno la stessa misura. Sembrerebbe quindi che se due angoli hanno lati perpendicolari tra loro, sono uguali, ma guardiamo un altro caso.
Consideriamo ora gli angoli α e ω. Questi due angoli hanno anche lati perpendicolari corrispondenti, tuttavia non si può dire che siano di uguale misura, poiché uno è acuto e l'altro è ottuso..
Nota che ω + θ = 180º. Inoltre θ = α. Se sostituisci questa espressione con z nella prima equazione, ottieni:
δ + α = 180º, dove δ e α sono angoli dei lati reciprocamente perpendicolari.
Da quanto sopra si può stabilire una regola che viene rispettata purché gli angoli abbiano lati perpendicolari:
Se due angoli hanno lati reciprocamente perpendicolari, allora sono uguali se entrambi sono acuti o entrambi sono ottusi. Altrimenti, se uno è acuto e l'altro è ottuso, allora sono supplementari, cioè sommano fino a 180º.
Applicando questa regola e facendo riferimento agli angoli di figura 4 possiamo affermare quanto segue:
α = β = θ = φ
γ = δ
Con l'angolo supplementare ω di α, β, θ e φ.
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