Misure di tendenza centrale per formule di dati raggruppati, esercizi

Il misure di tendenza centrale indicano il valore attorno al quale si trovano i dati di una distribuzione. La più nota è la media o media aritmetica, che consiste nell'aggiungere tutti i valori e dividere il risultato per il numero totale di dati.

Tuttavia, se la distribuzione è composta da un numero elevato di valori e questi non sono presentati in modo ordinato, non è facile eseguire i calcoli necessari per estrarre le preziose informazioni che contengono..

Questo è il motivo per cui sono raggruppati in classi o categorie, per sviluppare un file distribuzione di frequenze. Eseguendo questo precedente ordinamento dei dati, è quindi più facile calcolare le misure di tendenza centrale, tra cui:

-Metà

-Mediano

-moda

-Media geometrica

-Media armonica

Formule

Ecco le formule per le misure di tendenza centrale per i dati raggruppati:

Media aritmetica

La media è la più utilizzata per caratterizzare i dati quantitativi (valori numerici), sebbene sia abbastanza sensibile ai valori estremi della distribuzione. Viene calcolato da:

Con:

-X: media o media aritmetica

-F_io: frequenza della classe

-m_io: il voto di classe

-g: numero di classi

-n: dati totali

Mediano

Per calcolarla è necessario trovare l'intervallo che contiene l'osservazione n / 2 e interpolare per determinare il valore numerico di detta osservazione, utilizzando la seguente formula:

Dove:

-c: larghezza dell'intervallo a cui appartiene la mediana

-B_M: limite inferiore di detto intervallo

-F_m: numero di osservazioni contenute nell'intervallo

-n / 2: dati totali divisi per 2.

-F_BM: numero di osservazioni prima dell'intervallo contenente la mediana.

Pertanto, la mediana è una misura della posizione, ovvero divide il set di dati in due parti. Possono anche essere definiti quartili, decili Y percentili, che dividono la distribuzione rispettivamente in quattro, dieci e cento parti.

moda

Nei dati raggruppati, viene cercata la classe o la categoria che contiene il maggior numero di osservazioni. Questo è il classe modale. Una distribuzione può avere due o più modalità, nel qual caso viene chiamata bimodale Y multimodale, rispettivamente.

È inoltre possibile calcolare la modalità in dati raggruppati seguendo l'equazione:

Con:

-L₁: limite inferiore della classe in cui si trova la modalità

-Δ₁: sottrarre tra la frequenza della classe modale e la frequenza della classe che la precede.

-Δ_Due: sottrarre tra la frequenza della classe modale e la frequenza della classe successiva.

-c: larghezza dell'intervallo contenente la modalità

Media armonica

La media armonica è indicata da H. Quando hai un insieme di n x valori₁, X_Due, X₃..., La media armonica è l'inverso o il reciproco della media aritmetica degli inversi dei valori.

È più facile vederlo attraverso la formula:

E avendo a disposizione i dati raggruppati, l'espressione diventa:

Dove:

-H: media armonica

-F_io: frequenza della classe

-m_io: voto di classe

-g: numero di classi

-N = f₁ + F_Due + F₃ +...

Media geometrica

Se l'hanno fatto n numeri positivi x₁, X_Due, X₃..., la sua media geometrica G è calcolata dall'ennesima radice del prodotto di tutti i numeri:

Nel caso di dati raggruppati, si può dimostrare che il logaritmo decimale della media geometrica log G è dato da:

Dove:

-G: media geometrica

-F_io: frequenza della classe

-m_io: il voto di classe

-g: numero di classi

-N = f₁ + F_Due + F₃ +...

Relazione tra H, G e X

È sempre vero che:

H ≤ G ≤ X

Definizioni più utilizzate

Le seguenti definizioni sono necessarie per trovare i valori descritti nelle formule precedenti:

Frequenza

La frequenza è definita come il numero di volte in cui un dato viene ripetuto.

Rango

È la differenza tra i valori più alti e quelli più bassi, presenti nella distribuzione.

Numero di classi

Per sapere in quante classi raggruppiamo i dati, utilizziamo alcuni criteri, ad esempio il seguente:

Limiti

Vengono chiamati i valori estremi di ogni classe o intervallo limiti e ogni classe può avere limiti ben definiti, nel qual caso ha un limite inferiore e uno superiore. Oppure può avere limiti aperti, quando viene fornito un intervallo, ad esempio di valori maggiori o minori di un certo numero.

Marchio di classe

Consiste semplicemente nel punto medio dell'intervallo ed è calcolato facendo la media del limite superiore e del limite inferiore.

Larghezza della fessura

I dati possono essere raggruppati in classi di dimensioni uguali o diverse, questa è la larghezza o la larghezza. La prima opzione è la più utilizzata, in quanto semplifica notevolmente i calcoli, anche se in alcuni casi è imperativo che le classi abbiano larghezze diverse.

La larghezza c L'intervallo può essere determinato dalla seguente formula:

c = Intervallo / N_c

Dove_c è il numero di classi.

Esercizio risolto

Di seguito abbiamo una serie di misure di velocità in km / h, prese con radar, che corrispondono a 50 auto che hanno attraversato una strada in una certa città:

Soluzione

I dati presentati in questo modo non sono organizzati, quindi il primo passo è raggrupparli in classi.

Passaggi per raggruppare i dati e costruire la tabella

Passo 1

Trova la gamma R:

R = (52 - 16) km / h = 36 km / h

Passo 2

Seleziona il numero di classi N_c, secondo i criteri dati. Poiché ci sono 50 dati, possiamo scegliere N_c = 6.

Passaggio 3

Calcola la larghezza c dell'intervallo:

c = Intervallo / N_c = 36/6 = 6

Passaggio 4

Formare classi e dati di gruppo come segue: per la prima classe si sceglie come limite inferiore un valore leggermente inferiore al valore più basso presente in tabella, quindi a tale valore si somma il valore di c = 6, calcolato in precedenza, ottiene il limite massimo della prima classe.

Procediamo allo stesso modo per costruire il resto delle classi, come mostrato nella tabella seguente:

Ogni frequenza corrisponde ad un colore in figura 2, in questo modo si garantisce che nessun valore sfugga al conteggio..

Calcolo della media

X = (5 x 18,5 +25 x 25,0 + 10 x 31,5 + 6 x 38,0 + 2 x 44,5 + 2 x 51,0) ÷ 50 = 29,03 km / h

Calcolo della mediana

La mediana è nella classe 2 della tabella, poiché ci sono i primi 30 dati della distribuzione.

-Larghezza dell'intervallo a cui appartiene la mediana: c = 6

-Limite inferiore dell'intervallo in cui la mediana è: B_M = 22,0 km / h

-Numero di osservazioni contenute nell'intervallo f_m = 25

-Dati totali divisi per 2: 50/2 = 25

-Numero di osservazioni disponibili prima dell'intervallo contenente la mediana: f_BM = 5

E l'operazione è:

Mediana = 22,0 + [(25-5) ÷ 25] × 6 = 26,80 km / h

Calcolo della moda

La moda è anche in classe 2:

-Larghezza intervallo: c = 6

-Limite inferiore della classe in cui si trova la modalità: L₁ = 22,0

-Sottrai tra la frequenza della classe modale e la frequenza della classe che la precede: Δ₁ = 25-5 = 20

-Sottrai tra la frequenza della classe modale e la frequenza della classe che segue: Δ_Due = 25-10 = 15

Con questi dati l'operazione è:

Modalità = 22,0 + [20 ÷ (20 + 15)] x6 = 25,4 km / h

Calcolo della media geometrica

N = f₁ + F_Due + F₃ +… = 50

log G = (5 x log 18,5 + 25 x log 25 + 10 x log 31,5 + 6 x log 38 + 2 × log 44,5 + 2 x log 51) / 50 =

log G = 1,44916053

G = 28,13 km / h

Calcolo della media armonica

1 / H = (1/50) x [(5 / 18,5) + (25/25) + (10 / 31,5) + (6/38) + (2 / 44,5) + (2/51)] = 0,0366

H = 27,32 km / h

Riepilogo delle misure di tendenza centrale

Le unità delle variabili sono km / h:

-Media: 29.03

-Mediana: 26,80

-Moda: 25.40

-Media geometrica: 28.13

-Media armonica: 27,32

Riferimenti

1. Berenson, M. 1985. Statistiche per la gestione e l'economia. Interamericana S.A.
2. Canavos, G. 1988. Probabilità e statistica: applicazioni e metodi. Mcgraw hill.
3. Devore, J. 2012. Probabilità e statistica per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
4. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2 °. Edizione. Prentice Hall.
5. Spiegel, M. 2009. Statistiche. Serie Schaum. 4 ° Edizione. Mcgraw hill.
6. Trattamento dei dati raggruppati. Estratto da: itchihuahua.edu.mx.
7. Walpole, R. 2007. Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze. Pearson.