Il Legge di Biot-Savart stabilisce una relazione tra il campo magnetico dB in un punto P, prodotto da un filo sottile portante una corrente I e la cui lunghezza differenziale è dS. Questa legge viene utilizzata per trovare il campo magnetico delle distribuzioni di corrente mediante il principio di sovrapposizione.
Ciò significa che per calcolare il campo magnetico totale nel punto P, dobbiamo sommare tutti i contributi che ciascuna parte differenziale dS del filo contribuisce. E questa somma viene fatta tramite un integrale effettuato sull'intera distribuzione di corrente.
In questo modo è possibile calcolare il campo prodotto da fili in tensione di geometrie differenti..
La legge Biot-Savart prende il nome dai due fisici francesi che la scoprirono nel 1820: Jean Marie Biot (1774-1862) e Felix Savart (1791-1841). Per ottenere ciò, hanno dovuto studiare l'intensità e la forma del campo magnetico prodotto da numerose distribuzioni di corrente..
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L'espressione matematica della legge di Biot-Savart è la seguente:
Mantiene analogie con il suo equivalente per calcolare il campo elettrico: legge di Coulomb, solo che il campo magnetico dB in P è perpendicolare al piano in cui si trova il filo. Possiamo vederlo nella figura 1.
L'espressione sopra può anche essere scritta come segue:
In entrambe le espressioni, r è il vettore di posizione, diretto dall'elemento corrente IdS fino al punto in cui si desidera calcolare il campo.
Da parte sua, r con un accento circonflesso è il vettore unitario che è diretto nella stessa direzione e senso, ma con un modulo uguale a 1. Il vettore r è rappresentato così:
Oltre ai vettori citati, la formula contiene la costante μo, chiamata permeabilità al vuoto e il cui valore è:
μo = 4π x10-7 T.m / A.
Se vogliamo calcolare il vettore del campo magnetico, è necessario integrare l'intera distribuzione di corrente, per la quale abbiamo bisogno di dati sulla sua geometria:
La legge di Biot-Savart prevede un prodotto vettoriale tra i vettori IdS Y r. Anche il risultato di un prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore.
In questo caso il modulo del prodotto vettoriale IdS X r è: (Ids) ⋅r⋅senθ, dove θ è l'angolo tra IdS Y r, come mostrato in figura 1.
In questo modo l'ampiezza del campo dB è dato da:
Direzione e direzione possono essere determinate con la regola della mano destra, illustrata in questa figura:
Invitiamo il lettore a posizionare la mano destra seguendo i vettori delle figure 1 e 2. Per la figura 1, il dito indice dovrebbe puntare a sinistra, seguendo IdS o Idl, il dito medio punta in base al vettore r unitario.
E infine il pollice è diretto verso l'alto e questa è la direzione del campo magnetico.
La legge di Biot-Savart è di natura eminentemente sperimentale, il che significa che la sua formulazione deriva da molte osservazioni sul comportamento del campo magnetico prodotto dai fili di corrente..
Queste erano le osservazioni degli scienziati francesi sul campo magnetico dB:
-L'entità di dB è inversamente proporzionale a rDue.
-È anche direttamente proporzionale alla grandezza dell'elemento corrente, che si chiama IdS e anche a sin θ, dove θ è l'angolo tra i vettori dS Y r.
-dB è perpendicolare a entrambi IdS -la direzione della corrente - come a r.
-La direzione di dB è tangenziale a una circonferenza di raggio r centrato sul filo. In altre parole, il campo B prodotto da un segmento di corrente è costituito da cerchi concentrici al filo.
-Il modo in cui gira B è dato dalla regola del pollice destro: il pollice destro è puntato nella direzione della corrente e le quattro dita rimanenti sono avvolte attorno al filo, seguendo la circolazione del campo.
Tutte queste osservazioni sono combinate nell'espressione matematica della legge precedentemente descritta.
Quando la distribuzione corrente ha un'elevata simmetria, l'integrale può essere facilmente risolto, vediamo alcuni casi:
Un filo rettilineo di lunghezza L trasporta una corrente I, come mostrato in figura.
Illustra la geometria necessaria per calcolare il campo. Questo è perpendicolare al foglio di carta, sporge dal piano se la corrente scorre da sinistra a destra, ed entra altrimenti (controlla con la regola della mano destra).
Essere K il vettore unitario nella direzione perpendicolare al piano, dopo aver eseguito il processo di integrazione, il campo magnetico che il filo produce in P è:
L'anello circolare del raggio per trasporta una corrente come mostrato in figura e produce un campo magnetico dB -in verde scuro - nel punto P sull'asse assiale, a distanza X dal centro.
Un altro elemento di corrente situato sul lato opposto, produrrebbe un altro contributo al campo dB (verde chiaro), in modo tale che la sua componente verticale si annulli con la prima.
Il risultato è che il campo magnetico netto è orizzontale, quindi si integra solo su questi componenti, risultando in:
Hai un filo estremamente lungo che trasporta una corrente di 2A come mostrato in figura. Calcola l'ampiezza del campo magnetico a una distanza radiale di 5 cm dal filo.
Poiché è un filo molto lungo, possiamo prendere l'espressione per il segmento rettilineo e creare θ1= 0º e θDue = 180º per gli angoli limite. Questo è sufficiente affinché la lunghezza del filo tenda all'infinito..
In questo modo avremo il campo è:
Ora sostituiamo i valori dell'istruzione:
Io = 2 A
r = 5 x10-Due m
μo= 4π x10-7 T.m / A
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