Il integrale indefinito è l'operazione inversa della derivazione e per denotarla si usa il simbolo della "s" allungata: ∫. Matematicamente si scrive l'integrale indefinito della funzione F (x):
∫F (x) dx = f (x) + C
Dove l'integrando F (x) = f '(x) è una funzione della variabile X, che è a sua volta la derivata di un'altra funzione f (x), chiamata integrale o antiderivativa.
A sua volta, C è una costante nota come costante di integrazione, che accompagna sempre il risultato di ogni integrale indefinito. Vedremo subito la sua origine attraverso un esempio.
Supponiamo che ci venga chiesto di trovare il seguente integrale indefinito I:
I = ∫x.dx
Immediatamente f '(x) è identificato con x. Significa che dobbiamo fornire una funzione f (x) tale che la sua derivata sia x, il che non è difficile:
f (x) = ½ xDue
Sappiamo che differenziando f (x) otteniamo f '(x), lo controlliamo:
[½ xDue] '= 2. (½ x) = x
Ora la funzione: f (x) = ½ xDue + 2 soddisfa anche il requisito, poiché la derivazione è lineare e la derivata di una costante è 0. Altre funzioni che quando derivate danno f (x) = sono:
½ xDue -1, ½ xDue + quindici; ½ xDue - √2 ...
E in generale tutte le funzioni del modulo:
f (x) = ½ xDue + C
Sono risposte corrette al problema.
Viene chiamata una qualsiasi di queste funzioni antiderivativo o primitiva di f '(x) = x ed è proprio a questo insieme di tutti gli antiderivativi di una funzione ciò che è noto come integrale indefinito.
Basta conoscere solo una delle primitive, perché come si vede l'unica differenza tra loro è la costante C di integrazione.
Se il problema contiene condizioni iniziali, è possibile calcolare il valore di C per adattarle (vedere l'esempio risolto sotto).
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Nell'esempio precedente, ∫x.dx è stato calcolato perché era nota una funzione f (x) che, una volta derivata, risultava nell'integrando.
Per questo motivo dalle funzioni più note e dalle loro derivate si possono risolvere velocemente integrali di base.
Inoltre, ci sono alcune proprietà importanti che ampliano la gamma di possibilità durante la risoluzione di un integrale. Essere K un numero reale, quindi è vero che:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
4.- ∫xn dx = [xn + 1/ n + 1] + C (n ≠ -1)
5.- ∫x -1 dx = ln x + C
A seconda dell'integrando, esistono vari metodi algebrici e numerici per la risoluzione degli integrali. Qui citiamo:
-Cambio variabile
-Sostituzioni algebriche e trigonometriche.
-Integrazione per parti
-Decomposizione in frazioni semplici per integrandi di tipo razionale
-Usare le tabelle
-Metodi numerici.
Ci sono integrali che possono essere risolti con più di un metodo. Sfortunatamente, non esiste un unico criterio per determinare a priori il metodo più efficace per risolvere un dato integrale.
Infatti, alcuni metodi consentono di raggiungere la soluzione di determinati integrali più rapidamente di altri. Ma la verità è che per acquisire integrali di capacità di risoluzione devi esercitarti con ogni metodo.
Organizzare:
Facciamo un semplice cambio di variabile per la quantità subradicale:
u = x-3
Con:
x = u + 3
Derivando entrambi i lati in una delle due espressioni si ottiene:
dx = du
Ora sostituiamo nell'integrale, che indicheremo come I:
Io = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u1/2 du
Applichiamo la proprietà distributiva e la moltiplicazione dei poteri di base uguale e otteniamo:
I = ∫ (u3/2 + 3 u1/2) du
Per proprietà 3 della sezione precedente:
I = ∫ u3/2 du + ∫ 3u1/2 du
Ora viene applicata la proprietà 4, nota come regola dei poteri:
∫ u3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C1 =
= [u5/2 / (5/2)] + C1 = (2/5) u5/2 + C1
∫ 3u1/2 du = 3 ∫u1/2 du = 3 [u3/2 / (3/2)] + CDue =
= 3 (2/3) u3/2 + CDue = 2u3/2 + CDue
Quindi i risultati vengono messi insieme in I:
I = (2/5) u5/2 + 2u3/2 + C
Le due costanti possono essere combinate in una senza problemi. Infine, non dimenticare di restituire il cambio di variabile effettuato in precedenza ed esprimere il risultato in termini di variabile originale x:
I = (2/5) (x-3)5/2 + 2 (x-3)3/2 + C
È possibile fattorizzare il risultato:
Io = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C
L'integrale indefinito si applica a numerosi modelli nelle scienze naturali e sociali, ad esempio:
Nella soluzione di problemi di movimento, per calcolare la velocità di un mobile, conoscendone l'accelerazione e nel calcolo della posizione di un mobile, conoscendone la velocità.
Ad esempio, quando si calcolano i costi di produzione degli articoli e si modella una funzione di domanda.
La velocità minima richiesta a un oggetto per sfuggire all'attrazione gravitazionale della Terra è data da:
In questa espressione:
-v è la velocità dell'oggetto che vuole scappare dalla Terra
-y è la distanza misurata dal centro del pianeta
-M è la massa terrestre
-G è costante di gravitazione
Viene chiesto di trovare la relazione tra v Y Y, risolvendo gli integrali indefiniti, se all'oggetto viene data una velocità iniziale vo e il raggio della Terra è noto ed è chiamato R.
Ci vengono presentati due integrali indefiniti da risolvere utilizzando le regole di integrazione:
io1 = ∫v dv = vDue/ 2 + C1
ioDue = -GM ∫ (1 / aDue) dy = -GM ∫ y-Due dy = -GM [y-2 + 1/ (- 2 + 1)] + CDue = GM. Y-1 + CDue
Identifichiamo I1 e ioDue:
vDue/ 2 + C1 = GM. Y-1 + CDue
Le due costanti possono essere combinate in una:
Una volta risolti gli integrali, applichiamo le condizioni iniziali, che sono le seguenti: quando l'oggetto si trova sulla superficie della Terra, si trova ad una distanza R dal suo centro. Nella dichiarazione ci dicono che y è la distanza misurata dal centro della Terra.
E il solo fatto di essere in superficie significa che le viene data la velocità iniziale vo con la quale sfuggirà all'attrazione gravitazionale del pianeta. Possiamo quindi stabilire che v (R) = vo. In tal caso, nulla ci impedisce di sostituire questa condizione nel risultato appena ottenuto:
E poiché vo è noto, e così sono G, M e R, possiamo risolvere per il valore della costante di integrazione C:
Che possiamo sostituire nel risultato degli integrali:
E infine chiariamo vDue, factoring e raggruppamento in modo appropriato:
Questa è l'espressione che mette in relazione la velocità v di un satellite che è stato lanciato dalla superficie del pianeta (di raggio R) con velocità iniziale vo, quando è lontano Y dal centro del pianeta.
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