Il grado di un polinomio sopra un variabile è data dal termine che ha il massimo esponente e se il polinomio ha due o più variabili, quindi il grado è determinato dalla somma degli esponenti di ciascun termine, la somma maggiore è il grado del polinomio.
Vediamo come determinare in modo pratico il grado del polinomio.
Supponiamo che il polinomio P (x) = -5x + 8x3 + 7 - 4xDue. Questo polinomio è una variabile, in questo caso è la variabile X. Questo polinomio è costituito da diversi termini, che sono i seguenti:
-5x; 8x3; 7; - 4xDue
Selezioniamo tra i quattro termini quello il cui esponente è maggiore, questo termine è:
8x3
E ora qual è l'esponente? La risposta è 3. Pertanto P (x) è un polinomio di grado 3.
Se il polinomio in questione ha più di una variabile, il grado può essere:
-Assoluto
-In relazione a una variabile
Il grado assoluto si trova come spiegato all'inizio: sommando gli esponenti di ogni termine e selezionando il più grande.
D'altra parte, il grado del polinomio rispetto a una delle variabili o lettere è il valore più grande dell'esponente che ha detta lettera. Il punto diventerà più chiaro con gli esempi e gli esercizi risolti nelle sezioni seguenti.
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I polinomi possono essere classificati per grado e possono essere di primo grado, secondo grado, terzo grado e così via. Per l'esempio in Figura 1, l'energia è un monomio di primo grado per la massa.
È anche importante notare che il numero di termini che ha un polinomio è uguale grado più 1. A) Sì:
-I polinomi di primo grado hanno 2 termini: a1x + ao
-Il polinomio di secondo grado ha 3 termini: aDueXDue + per1x + ao
-Un polinomio di terzo grado ha 4 termini: a3X3 + perDueXDue + per1x + ao
E così via. Il lettore attento avrà notato che i polinomi negli esempi precedenti sono scritti nella forma decrescente, ovvero, mettendo il termine al primo posto con Il voto più alto.
La tabella seguente mostra vari polinomi, sia di una che di più variabili e le rispettive variabili gradi assoluti:
| Polinomio | Grado |
|---|---|
| 3x4+5x3-2x + 3 | 4 |
| 7x3-2xDue+3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | 1 |
| X5-bx4+abx3+ab3XDue | 6 |
| 3x3Y5 + 5xDueY4 - 7xyDue + 6 | 8 |
Gli ultimi due polinomi hanno più di una variabile. Di questi, il termine con il grado assoluto più alto è stato evidenziato in grassetto, in modo che il lettore possa controllare rapidamente il grado. È importante ricordare che quando la variabile non ha un esponente scritto, resta inteso che tale esponente è uguale a 1.
Ad esempio nel termine in primo piano ab3XDue ci sono tre variabili, ovvero: per, b Y X. In quel termine, per viene elevato a 1, ovvero:
a = a1
Perciò ab3XDue = a1b3XDue
Poiché l'esponente di b è 3 e quello di x è 2, ne consegue immediatamente che il grado di questo termine è:
1 + 3 + 2 = 6
Y è il grado assoluto del polinomio, poiché nessun altro termine ha un grado superiore.
Quando si lavora con i polinomi è importante prestare attenzione al grado di esso, poiché prima e prima di eseguire qualsiasi operazione, è conveniente seguire questi passaggi, in cui il grado fornisce informazioni molto importanti:
-Ordina il polinomio di preferenza in direzione decrescente. In questo modo, il termine con il grado più alto è a sinistra e il termine con il grado più basso è a destra..
-Riduci termini simili, procedura che consiste nell'aggiungere algebricamente tutti i termini della stessa variabile e grado trovati nell'espressione.
-Se necessario si completano i polinomi inserendo termini il cui coefficiente è 0, nel caso in cui manchino termini con qualche esponente.
Dato il polinomio P (x) = 6xDue - 5x4- 2x + 3x + 7 + 2x5 - 3x3 + X7 -12 si richiede di ordinarlo in ordine decrescente, ridurre i termini simili se presenti e completare i termini mancanti se necessario.
La prima cosa da cercare è il termine con l'esponente più grande, che è il grado del polinomio, che risulta essere:
X7
Pertanto P (x) è di grado 7. Successivamente, il polinomio è ordinato, a partire da questo termine a sinistra:
P (x) = x7 + 2x5 - 5x4 - 3x3 + 6xDue - 2x + 3x + 7-12
Ora vengono ridotti i termini simili, che sono i seguenti: - 2x e 3x da un lato. E 7 e -12 dall'altro. Per ridurli si sommano algebricamente i coefficienti e la variabile rimane invariata (se la variabile non compare accanto al coefficiente si ricorda che x0 = 1):
-2x + 3x = x
7-12 = -5
Sostituisci questi risultati in P (x):
P (x) = x7 +2x5 - 5x4 - 3x3 + 6xDue + x -5
E infine si esamina il polinomio per vedere se manca qualche esponente e in effetti manca un termine il cui esponente è 6, quindi si completa con zeri in questo modo:
P (x) = x7 + 0x6 +2x5 - 5x4 - 3x3 + 6xDue + x - 5
Ora si osserva che il polinomio è rimasto con 8 termini, poiché come detto prima il numero di termini è uguale al grado + 1.
Con i polinomi è possibile eseguire operazioni di addizione e sottrazione, in cui vengono aggiunti o sottratti solo termini uguali, che sono quelli con la stessa variabile e lo stesso grado. Se non ci sono termini simili, l'addizione o la sottrazione viene semplicemente indicata.
Una volta effettuata l'addizione o la sottrazione, essendo quest'ultima la somma del contrario, il grado del polinomio risultante è sempre uguale o inferiore al grado del polinomio sommando il grado più alto.
Trova la seguente somma e determina il suo grado assoluto:
per3- 8axDue + X3 + 5 °Duex - 6axDue - X3 + 3 °3 - 5 °Duex - x3 + per3+ 14axDue - X3
È un polinomio con due variabili, quindi è conveniente ridurre i termini simili:
per3- 8axDue + X3 + 5 °Duex - 6axDue - X3 + 3 °3 - 5 °Duex - x3 + per3+ 14axDue - X3 =
= a3 + 3 °3 + per3 - 8axDue - 6axDue+ 14axDue +5 °Duex - 5 °Duex + x3- X3- X3- X3 =
= 5a3 - 2x3
Entrambi i termini sono di grado 3 in ciascuna variabile. Pertanto il grado assoluto del polinomio è 3.
Esprimere l'area della seguente figura geometrica piana come polinomio (figura 2 a sinistra). Qual è il grado del polinomio risultante?
Essendo un'area, il polinomio risultante deve essere di grado 2 nella variabile x. Per determinare un'espressione adeguata per l'area, la figura viene scomposta in aree note:
L'area di un rettangolo e di un triangolo sono rispettivamente: base x altezza Y base x altezza / 2
PER1 = x. 3x = 3xDue; PERDue = 5. x = 5x; PER3 = 5. (2x / 2) = 5x
Nota: la base del triangolo è 3x - x = 2x e la sua altezza è 5.
Ora si aggiungono le tre espressioni ottenute, con questa abbiamo l'area della figura in funzione di X:
3xDue + 5x + 5x = 3xDue + 10x
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