Il distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità mediante la quale viene calcolata la probabilità di accadimento di eventi, a condizione che si verifichino in due modalità: successo o fallimento.
Queste designazioni (successo o fallimento) sono completamente arbitrarie, poiché non significano necessariamente cose buone o cattive. Durante questo articolo indicheremo la forma matematica della distribuzione binomiale e poi verrà spiegato in dettaglio il significato di ogni termine.
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L'equazione è la seguente:
Con x = 0, 1, 2, 3… .n, dove:
- P (x) è la probabilità di avere esattamente X successi tra n tentativi o prove.
- X è la variabile che descrive il fenomeno di interesse, corrispondente al numero di successi.
- n il numero di tentativi
- p è la probabilità di successo in 1 tentativo
- che cosa è la probabilità di fallimento in 1 tentativo, quindi q = 1 - p
Il punto esclamativo "!" è usato per la notazione fattoriale, quindi:
0! = 1
1! = 1
Due! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
E così via.
La distribuzione binomiale è molto appropriata per descrivere situazioni in cui si verifica o non si verifica un evento. Se si verifica è un successo e se no, allora è un fallimento. Inoltre, la probabilità di successo deve rimanere sempre costante..
Ci sono fenomeni che si adattano a queste condizioni, ad esempio il lancio di una moneta. In questo caso, possiamo dire che "il successo" è ottenere una faccia. La probabilità è ½ e non cambia, non importa quante volte viene lanciata la moneta..
Il lancio di un dado onesto è un altro buon esempio, così come classificare una certa produzione in pezzi buoni e pezzi difettosi e ottenere un rosso invece di un nero quando si gira una ruota della roulette..
Possiamo riassumere le caratteristiche della distribuzione binomiale come segue:
- Qualsiasi evento o osservazione è tratto da una popolazione infinita senza sostituzione o da una popolazione finita con sostituzione.
- Sono considerate solo due opzioni che si escludono a vicenda: successo o fallimento, come spiegato all'inizio.
- La probabilità di successo deve essere costante in ogni osservazione effettuata.
- Il risultato di qualsiasi evento è indipendente da qualsiasi altro evento.
- La media della distribuzione binomiale è n.p
- La deviazione standard è:
Prendiamo un semplice evento, che può essere ottenere 2 teste 5 tirando un dado onesto 3 volte. Qual è la probabilità che in 3 lanci si ottengano 2 teste di 5?
Esistono diversi modi per ottenere ciò, ad esempio:
- I primi due tiri sono 5 e l'ultimo no.
- Il primo e l'ultimo sono 5 ma non quello centrale.
- Gli ultimi due lanci sono 5 e il primo no.
Prendiamo la prima sequenza descritta come esempio e calcoliamo la sua probabilità di accadimento. La probabilità di ottenere 5 teste al primo tiro è 1/6, e anche al secondo, dato che sono eventi indipendenti.
La probabilità di ottenere un'altra testa diversa da 5 nell'ultimo tiro è 1 - 1/6 = 5/6. Pertanto, la probabilità che questa sequenza esca è il prodotto delle probabilità:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
E le altre due sequenze? Hanno la stessa probabilità: 0,023.
E poiché abbiamo un totale di 3 sequenze riuscite, la probabilità totale sarà:
P (2 teste 5 in 3 lanci) = Numero di sequenze possibili x probabilità di una particolare sequenza = 3 x 0,023 = 0,069.
Ora proviamo il binomio, in cui è fatto:
x = 2 (ottenere 2 teste di 5 in 3 lanci è un successo)
n = 3
p = 1/6
q = 5/6
Esistono diversi modi per risolvere gli esercizi di distribuzione binomiale. Come abbiamo visto, il più semplice può essere risolto contando quante sequenze riuscite ci sono e poi moltiplicando per le rispettive probabilità.
Tuttavia, quando ci sono molte opzioni, i numeri aumentano ed è preferibile utilizzare la formula.
E se i numeri sono ancora più alti, ci sono le tabelle della distribuzione binomiale. Tuttavia, ora sono obsoleti a favore dei molti tipi di calcolatori che facilitano il calcolo..
Una coppia ha figli con una probabilità di 0,25 di avere sangue di tipo O. La coppia ha un totale di 5 figli. Risposta: a) Questa situazione si adatta a una distribuzione binomiale? B) Qual è la probabilità che esattamente 2 di loro siano di tipo O?
a) La distribuzione binomiale è corretta, poiché soddisfa le condizioni stabilite nelle sezioni precedenti. Ci sono due opzioni: avere sangue di tipo O è "successo", mentre non averlo è "fallimento", e tutte le osservazioni sono indipendenti..
b) Abbiamo la distribuzione binomiale:
x = 2 (ottieni 2 bambini con sangue di tipo O)
n = 5
p = 0,25
q = 0,75
Un'università afferma che l'80% degli studenti della squadra di basket del college si laurea. Un'indagine esamina il curriculum accademico di 20 studenti appartenenti a detta squadra di basket che da tempo si sono iscritti all'università.
Di questi 20 studenti, 11 hanno terminato la laurea e 9 hanno abbandonato.
Se l'affermazione dell'università è vera, il numero di studenti che giocano a basket e si diplomano, su 20, dovrebbe avere una distribuzione binomiale con n = 20 Y p = 0,8. Qual è la probabilità che esattamente 11 dei 20 giocatori si diplomino??
Nella distribuzione binomiale:
x = 11
n = 20
p = 0,8
q = 0,2
I ricercatori hanno condotto uno studio per determinare se c'erano differenze significative nei tassi di laurea tra studenti di medicina ammessi attraverso programmi speciali e studenti di medicina ammessi attraverso criteri di ammissione regolari..
Il tasso di laurea è risultato del 94% per gli studenti di medicina ammessi tramite programmi speciali (sulla base dei dati del Giornale dell'Associazione Medica Americana).
Se 10 studenti dei programmi speciali vengono selezionati in modo casuale, trova la probabilità che almeno 9 di loro si siano laureati.
b) Sarebbe insolito selezionare a caso 10 studenti da programmi speciali e scoprire che solo 7 di loro si sono diplomati??
La probabilità che uno studente ammesso tramite un corso speciale si laurea è 94/100 = 0,94. Sono scelti n = 10 studenti di programmi speciali e vuoi scoprire la probabilità che almeno 9 di loro si diplomino.
I seguenti valori vengono quindi sostituiti nella distribuzione binomiale:
x = 9
n = 10
p = 0,94
b)
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