Il derivati impliciti Sono strumenti utilizzati in una tecnica di differenziazione applicata alle funzioni. Vengono applicati quando non è possibile, con metodi regolari, cancellare la variabile dipendente da derivare. Questa liquidazione viene eseguita sulla base della variabile indipendente.
Ad esempio, nell'espressione 3xy3 - 2y + xyDue = xy, non è possibile ottenere l'espressione che definisce "y" in funzione di "x". In modo che derivando l'espressione differenziale dy / dx si possa ottenere.
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Per risolvere una derivata implicita, iniziamo con un'espressione implicita. Ad esempio: 3xy3 - 2y + xyDue - xy = 0. Questo è già stato risolto correttamente, tuttavia farlo non è una condizione necessaria per ottenere la derivata di y rispetto a x. Quindi, ciascuno degli elementi viene derivato rispettando la regola della catena per le funzioni miste:
3xy3 è composto da 2 variabili, quindi d (3xy3) sarà trattato come la derivata di un prodotto di funzioni.
d (3xy3) / dx = 3y3 + 3yDue.(3x) y '= 3y3 + 9xyDue Y '
Dove l'elemento y 'è noto come "e cugino"Y rappresenta dy / dx
-2y È derivato secondo la legge K.U = K.U '
d (-2y) = -2 y '
xyDue assume un altro differenziale composto da un prodotto di funzioni
d (xyDue) = eDue + 2xy e '
-x ed è trattato in modo omologato
d (-xy) = -y - x y '
Sono sostituiti in uguaglianza, sapendo che la derivata di zero è zero.
3y3 + 9xyDue y '- 2 y' + yDue + 2xy y '- y - x y' = 0
Gli elementi che hanno il termine y 'sono raggruppati su un lato dell'uguaglianza
3y3 + YDue - y = -9xyDue y '+ 2 y' + x y '
Il fattore comune y 'viene estratto a destra dell'uguaglianza
3y3 + YDue - y = y '(-9xyDue + x + 2)
Infine, il termine che moltiplica y 'viene cancellato. Ottenendo così l'espressione corrispondente alla derivata implicita di y rispetto a x.
y '= dy / dx = (3y3 + YDue - y) / (- 9xyDue + x + 2)
Nella derivazione implicita la regola della catena è sempre rispettata. Tutte le espressioni differenziali saranno date come una funzione della variabile indipendente X. Quindi ogni variabile θ diversa da X, deve includere il termine dθ / dx dopo essere stata derivata.
Questo termine apparirà solo in primo grado o con un esponente pari a 1. Questa qualità lo rende completamente chiaro con i metodi tradizionali di factoring. È quindi possibile ottenere l'espressione che definisce il differenziale dθ / dx.
La regola della catena mostra la natura progressiva del processo di differenziazione o derivato. Dove per ogni funzione composta f [g (x)], abbiamo che l'espressione differenziale di f sarà
In ogni formula o legge di derivazione applicata, deve essere preso in considerazione l'ordine delle variabili tra di loro. I criteri associati alla variabile indipendente vengono rispettati, senza alterarne la correlazione con la variabile dipendente..
La relazione della variabile dipendente al momento della derivazione viene presa direttamente; con l'eccezione che questa sarà considerata come una seconda funzione, motivo per cui il criterio della regola della catena viene applicato alle funzioni miste.
Questo può essere sviluppato in espressioni con più di 2 variabili. Con gli stessi principi verranno indicati tutti i differenziali riferiti alle variabili dipendenti.
Graficamente viene gestito lo stesso criterio che definisce la derivata. Mentre la derivata è la pendenza della tangente alla curva nel piano, il resto dei differenziali appartenenti alle variabili dipendenti (dy / dx, dz / dx) rappresentano piani tangenti ai corpi vettoriali descritti dalle funzioni di variabili multiple.
Si dice che una funzione sia definita implicitamente, se l'espressione y = f (x) può essere rappresentata come una funzione a variabili multiple F (x, y) = 0 fintanto che F è definita nel piano RDue.
3xy3 - 2y + xyDue = xy può essere scritto nella forma 3xy3 - 2y + xyDue - xy = 0
Vista l'impossibilità di rendere esplicita la funzione y = f (x).
Il calcolo differenziale iniziò ad essere nominato da vari ricercatori matematici intorno al diciassettesimo secolo. La prima volta che è stato menzionato è stato attraverso i contributi di Newton e Leibniz. Entrambi hanno trattato il calcolo differenziale da diversi punti di vista, ma convergenti nei loro risultati.
Mentre Newton si concentrava sulla differenziazione come velocità o tasso di cambiamento, l'approccio di Leibniz era più geometrico. Si può dire che Newton abbia attaccato le congetture lasciate da Apollonio di Perge e Leibniz le idee geometriche di Fermat.
La derivazione implicita appare immediatamente quando si considerano le equazioni differenziali e integrali. Questi hanno esteso il concetto geometrico di Leibniz a R3 e anche spazi multidimensionali.
I derivati impliciti vengono utilizzati in varie situazioni. Sono comuni nei problemi di cambio tra variabili correlate, dove, a seconda del senso dello studio, le variabili saranno considerate dipendenti o indipendenti..
Hanno anche interessanti applicazioni geometriche, come nei problemi di riflessione o ombra, su figure la cui forma può essere modellata matematicamente..
Sono frequentemente utilizzati nei settori dell'economia e dell'ingegneria, nonché in varie indagini su fenomeni naturali e edifici sperimentali..
Definisci l'espressione implicita che definisce dy / dx
Ogni elemento dell'espressione è differenziato
Stabilire la regola della catena in ogni caso competente
Raggruppando su un lato dell'uguaglianza gli elementi che hanno dy / dx
Viene scomposto utilizzando il fattore comune
Si risolve ottenendo l'espressione ricercata
Definisci l'espressione implicita che definisce dy / dx
Esprimere i derivati da eseguire
Derivare implicitamente secondo la regola della catena
Fattorizzazione di elementi comuni
Raggruppare il termine dy / dx su un lato dell'uguaglianza
Fattore comune all'elemento differenziale
Isoliamo e otteniamo l'espressione ricercata
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