Il cerchio unitario è un cerchio di raggio uguale a 1, che di solito è centrato nel punto (0,0) del sistema di coordinate cartesiane xy. Utilizzato per definire facilmente i rapporti trigonometrici degli angoli utilizzando triangoli rettangoli.
L'equazione del cerchio unitario centrato all'origine è:
XDue + YDue = 1
Nella figura 1 abbiamo il cerchio unitario, in cui ogni quarto è in un quadrante. I quadranti sono numerati con numeri romani e contati in senso antiorario.
Nel primo quadrante c'è un triangolo. Le gambe, in rosso e blu, misurano rispettivamente 0,8 e 0,6, mentre l'ipotenusa in verde misura 1, poiché è un raggio.
L'angolo acuto α è un angolo centrale in posizione standard, il che significa che il suo vertice coincide con il punto (0,0) e il suo lato iniziale con l'asse x positivo. L'angolo viene misurato in senso antiorario e per convenzione viene assegnato un segno positivo.
Ebbene, nel cerchio unitario, le coordinate coseno e seno di α sono rispettivamente le coordinate xey del punto B, che nell'esempio mostrato sono 0,8 e 0,6.
Da questi due si definiscono:
Indice articolo
Se ci limitiamo ai triangoli rettangoli, i rapporti trigonometrici si applicherebbero solo agli angoli acuti. Tuttavia, con l'aiuto del cerchio unitario, il calcolo dei rapporti trigonometrici viene esteso a qualsiasi angolo α.
Per questo, è necessario prima definire il concetto di angolo di riferimento αR:
Sia α un angolo in posizione standard (quello il cui lato di partenza coincide con l'asse x positivo), il suo angolo di riferimento αR è tra i suoi lato terminale e l'asse x. La Figura 2 mostra l'angolo di riferimento per gli angoli nel quadrante I, II, III e IV.
Per ogni quadrante, l'angolo di riferimento viene calcolato in questo modo:
-Primo quadrante: αR = α
-Secondo quadrante: αR = 180º - α
-Terzo quadrante: αR = α - 180º
-Quarto quadrante: αR = 360º - α
Si noti che nel primo quadrante l'angolo α coincide con il suo angolo di riferimento. Ebbene, i rapporti trigonometrici dell'angolo α sono gli stessi del loro angolo di riferimento, con i segni secondo quelli dei quadranti in cui cade il lato terminale di α..
In altre parole, i rapporti coseno e seno trigonometrici dell'angolo α coincidono con le coordinate del punto P, secondo la figura 2.
Nella figura seguente vediamo i rapporti trigonometrici di alcuni angoli notevoli, come dedotti dalla circonferenza unitaria.
I rapporti coseno e seno di qualsiasi angolo nel quadrante I sono tutti positivi. Per α = 60º abbiamo le coordinate (1/2; √3 / 2), che corrispondono rispettivamente a cos 60º e sin 60º.
Le coordinate di α = 120º sono (-1/2; √3 / 2), essendo nel secondo quadrante, la coordinata x è negativa.
Con l'aiuto del cerchio unitario e delle coordinate dei punti P su di esso, è possibile disegnare i grafici delle funzioni cos t e sin t, come vedremo di seguito.
Per fare ciò, varie posizioni del punto P (t) si trovano sul cerchio unitario. Inizieremo con il grafico della funzione f (t) = sin t.
Possiamo vedere che quando andiamo da t = 0 at = π / 2 (90º) il valore di sin t aumenta fino a raggiungere 1, che è il valore massimo.
D'altra parte, da t = π / 2 a t = 3π / 2 il valore di sin t diminuisce da 1, passando per 0 in t = π fino a raggiungere il suo minimo di -1 in t = 3π / 2.
La figura mostra il grafico del primo ciclo di f (t) = sin t che corrisponde al primo giro del cerchio unitario, questa funzione è periodica con periodo 2π.
Analoga procedura può essere eseguita per ottenere il grafico della funzione f (t) = cos t, come mostrato nell'animazione seguente:
-Entrambe le funzioni sono continue nell'insieme dei numeri reali e anche periodiche, di periodo 2π.
-Il dominio delle funzioni f (t) = sin t e f (t) = cos t sono tutti numeri reali: (-∞, ∞).
-Per l'intervallo o percorso di seno e coseno abbiamo l'intervallo [-1,1]. Le parentesi indicano che -1 e 1 sono inclusi.
- Gli zeri di sin t sono i valori che corrispondono a nπ con n intero, mentre gli zeri di cos t sono [(2n + 1) / 2] con n anche intero.
-La funzione f (t) = sin t è dispari, ha simmetria sull'origine mentre la funzione cos t è pari, la sua simmetria è sull'asse verticale.
Dato cos t = - 2/5, che è la coordinata orizzontale del punto P (t) sulla circonferenza unitaria nel secondo quadrante, si ottiene la corrispondente coordinata verticale sin t.
Poiché P (t) appartiene alla circonferenza unitaria, in cui è vero che:
XDue + YDue = 1
Perciò:
y = ± √ 1 - xDue
Poiché P (t) è nel secondo quadrante, verrà preso il valore positivo. La coordinata verticale del punto P (t) è y:
y = √ 1 - (-2/5)Due = √0,84
Un modello matematico per la temperatura T in gradi Fahrenheit in un dato giorno, t ore dopo la mezzanotte, è data da:
T (t) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t - 8)]
Con t compreso tra 0 e 24 ore. Trova:
a) La temperatura alle 8 del mattino.
b) Ore durante le quali T (t) = 60ºF
c) Temperature massime e minime.
Sostituiamo t = 8 nella funzione data:
T (8) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 50 + 10 sin [(π / 12) × (8-8)] =
= 50 + 10 x sin 0 = 50 ºF
50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60
È un'equazione trigonometrica e dobbiamo risolvere per l'ignoto "t":
10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60 - 50 = 10
sin [(π / 12) × (t-8)] = 1
Sappiamo che sin π / 2 = 1, quindi l'argomento seno deve essere 1:
(π / 12) × (t-8) = π / 2
t-8 = 6
t = 14 h
Si conclude che a 14 ore dopo la mezzanotte la temperatura è di 60 ° C, cioè le 2 del pomeriggio. Non c'è altro momento della giornata (24 ore) in cui ciò accade.
La temperatura massima corrisponde al valore al quale sin [(π / 12) × (t-8)] = 1 ed è 60ºF. D'altra parte, il minimo si verifica se sin [(π / 12) × (t-8)] = -1 ed è 40ºF.
Nessun utente ha ancora commentato questo articolo.