Il coordinate cilindriche servono per localizzare punti nello spazio tridimensionale e sono costituiti da una coordinata radiale ρ, una coordinata azimutale φ e una coordinata di altezza z.
Un punto P situato nello spazio è proiettato ortogonalmente sul piano XY dando luogo al punto P ' in quell'aereo. La distanza dall'origine al punto P ' definisce la coordinata ρ, mentre l'angolo formato dall'asse X con il raggio OPERAZIONE ' definisce la coordinata φ. Infine, la coordinata z è la proiezione ortogonale del punto P sull'asse Z. (vedi figura 1).
La coordinata radiale ρ è sempre positiva, la coordinata azimutale φ varia da zero radianti a due pi radianti, mentre la coordinata z può assumere qualsiasi valore reale:
0 ≤ ρ < ∞
0 ≤ φ < 2π
- ∞ < z < + ∞
Indice articolo
È relativamente facile ottenere le coordinate cartesiane (x, y, z) di un punto P dalle sue coordinate cilindriche (ρ, φ, z):
x = ρ cos (φ)
y = ρ sin (φ)
z = z
Ma è anche possibile ricavare le coordinate polari (ρ, φ, z) partendo dalla conoscenza delle coordinate cartesiane (x, y, z) di un punto P:
ρ = √ (xDue + YDue)
φ = arctan (y / x)
z = z
La base dei vettori unitari cilindrici è definita Uρ, Uφ, Uz.
Il vettore Uρ è tangente alla linea φ = ctte ez = ctte (che punta radialmente verso l'esterno), il vettore Uφ è tangente alla retta ρ = ctte ez = ctte e infine Uz ha la stessa direzione dell'asse Z..
Nella base dell'unità cilindrica, il vettore di posizione r di un punto P è scritto vettorialmente così:
r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz
D'altra parte, uno spostamento infinitesimale dr dal punto P si esprime come segue:
dr = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz
Allo stesso modo, un elemento infinitesimale di volume dV in coordinate cilindriche è:
dV = ρ dρ dφ dz
Ci sono innumerevoli esempi di utilizzo e applicazione di coordinate cilindriche. Nella cartografia, ad esempio, il file proiezione cilindrica, basato proprio su queste coordinate. Ci sono altri esempi:
Le coordinate cilindriche hanno applicazioni nella tecnologia. Ad esempio, abbiamo il sistema CHS (Cylinder-Head-Sector) per la localizzazione dei dati su un disco rigido, che in realtà è costituito da più dischi:
- Il cilindro o la traccia corrisponde alla coordinata ρ.
- Il settore corrisponde alla posizione φ del disco che ruota in alto velocità angolare.
- La testina corrisponde alla posizione z della testina di lettura sul disco corrispondente.
Ogni byte di informazione ha un indirizzo preciso in coordinate cilindriche (C, S, H).
Le gru edili fissano la posizione del carico in coordinate cilindriche. La posizione orizzontale è definita dalla distanza dall'asse o freccia della gru ρ e dalla sua posizione angolare φ rispetto a qualche asse di riferimento. La posizione verticale del carico è determinata dalla coordinata z dell'altezza.
Ci sono punti P1 con coordinate cilindriche (3, 120º, -4) e punto P2 con coordinate cilindriche (2, 90º, 5). Trovare la Distanza euclidea tra questi due punti.
Soluzione: Per prima cosa, procediamo per trovare le coordinate cartesiane di ogni punto seguendo la formula data sopra.
P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)
P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)
La distanza euclidea tra P1 e P2 è:
d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5))Due+(2 - 2.60)Due+(5 - (- 4))Due ) = ...
… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14
Il punto P ha coordinate cartesiane (-3, 4, 2). Trova le coordinate cilindriche corrispondenti.
Soluzione: Procediamo per trovare le coordinate cilindriche utilizzando le relazioni sopra riportate:
ρ = √ (xDue + YDue) = √ ((- 3)Due + 4Due) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º
z = 2
Va ricordato che la funzione arcotangente è multivalore con periodicità di 180º. Inoltre, l'angolo φ deve appartenere al secondo quadrante, poiché le coordinate xey del punto P si trovano in quel quadrante. Questo è il motivo per cui 180º è stato aggiunto al risultato φ.
Esprimere in coordinate cilindriche e in coordinate cartesiane la superficie di un cilindro di raggio 2 e il cui asse coincide con l'asse Z.
Soluzione: Resta inteso che il cilindro ha un'estensione infinita nella direzione z, quindi l'equazione di detta superficie in coordinate cilindriche è:
ρ = 2
Per ottenere l'equazione cartesiana della superficie cilindrica, si prende il quadrato di entrambi i membri dell'equazione precedente:
ρDue = 4
Moltiplichiamo per 1 entrambi i membri dell'uguaglianza precedente e applichiamo il identità trigonometrica fondamentale (senDue(φ) + cosDue(φ) = 1):
1 * ρDue = 1 * 4
(senDue(φ) + cosDue(φ)) * ρDue = 1 * 4
La parentesi si sviluppa per ottenere:
(ρ sin (φ))Due + (ρ cos (φ))Due = 4
Ricordiamo che la prima parentesi (ρ sin (φ)) è la coordinata y di un punto in coordinate polari, mentre le parentesi (ρ cos (φ)) rappresenta la coordinata x, quindi abbiamo l'equazione del cilindro in coordinate cartesiane:
YDue + XDue = 2Due
L'equazione precedente non deve essere confusa con quella di un cerchio nel piano XY, poiché in questo caso sarebbe simile a questa: yDue + XDue = 2Due ; z = 0.
Un cilindro di raggio R = 1 me altezza H = 1 m ha la sua massa distribuita radialmente secondo la seguente equazione D (ρ) = C (1 - ρ / R) dove C è una costante di valore C = 1 kg / m3. Trova la massa totale del cilindro in chilogrammi.
Soluzione: La prima cosa è rendersi conto che la funzione D (ρ) rappresenta la densità di massa volumetrica e che la densità di massa è distribuita in gusci cilindrici di densità decrescente dal centro alla periferia. Un elemento infinitesimale di volume secondo la simmetria del problema è:
dV = ρ dρ 2π H
Quindi, la massa infinitesimale di un guscio cilindrico sarà:
dM = D (ρ) dV
Pertanto, la massa totale del cilindro sarà espressa come segue integrale definito:
M = ∫oR D (ρ) dV = ∫oR C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π H C ∫oR (1 - ρ / R) ρ dρ
La soluzione dell'integrale indicato non è difficile da ottenere, il suo risultato è:
∫oR (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) RDue
Incorporando questo risultato nell'espressione della massa del cilindro, si ottiene:
M = 2π H C (⅙) RDue = ⅓ π H C RDue =
⅓ π 1 m * 1 kg / m3* 1 mDue = π / 3 kg ≈ 1,05 kg
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