Vettori unitari caratteristici, come ottenerli, esempi

4900
Egbert Haynes

Il vettori unitari sono quelli il cui modulo, grandezza o dimensione è uguale al valore numerico uno. I vettori unitari sono utili per indicare la direzione di altri vettori non unitari.

Ricorda che i vettori sono entità matematiche che rappresentano matematicamente grandezze fisiche che dipendono dalla direzione, come forza, velocità, accelerazione e altre..

I vettori unitari più noti sono i tre vettori che vanno nelle direzioni degli assi cartesiani. Fonte: F. Zapata.

Indipendentemente dalla grandezza fisica a cui sono associati, i vettori unitari sono privi di unità di misura e la loro dimensione è sempre 1, un numero puro.

Ad esempio, la velocità di una particella che si muove a 3 m / se va nella direzione positiva dell'asse cartesiano X è indicata: v = (3 m / s) io, dove il grassetto è usato per denotare quantità vettoriali. In questo esempio il modulo v è 3 m / se il modulo del vettore unitario io è 1 (nessuna unità).

Indice articolo

  • 1 Modulo, direzione e senso
  • 2 Caratteristiche di un vettore unitario
  • 3 vettori unitari nello spazio
  • 4 Come disegnare / calcolare il vettore unitario?
    • 4.1 Un vettore arbitrario in termini di vettore unitario
    • 4.2 Rappresentazione grafica
  • 5 Esempi di vettori unitari
    • 5.1 I vettori unità perpendicolari i, j e k
    • 5.2 Legge di Coulomb
  • 6 Esercizio risolto
    • 6.1 Soluzione
  • 7 Riferimenti

Modulo, direzione e senso

Data l'importanza di stabilire l'orientamento di queste grandezze per conoscerne gli effetti, i vettori hanno tre caratteristiche rilevanti: la grandezza o modulo, associata alla dimensione del vettore, la direzione e il senso. Quando si rappresenta una quantità vettoriale è necessario indicare chiaramente questi aspetti.

Ora, un vettore unitario può avere qualsiasi direzione e il senso preferito, ma la grandezza deve essere sempre uguale a 1.

I vettori unitari vengono utilizzati per puntare a una particolare direzione nello spazio o nel piano. Se, ad esempio, abbiamo bisogno di lavorare con tutte le forze che agiscono lungo l'asse orizzontale, poiché un vettore unitario in quella direzione ci aiuta a distinguere queste forze da altre dirette in una direzione diversa..

E per distinguerli dai vettori non unitari, il grassetto viene solitamente utilizzato nella lettera stampata e un accento circonflesso viene posizionato sopra, ad esempio:

Caratteristiche di un vettore unitario

Matematicamente il vettore unitario:

Quindi possiamo stabilire che:

-Il modulo del vettore unitario è sempre 1, non importa se si tratta di una forza, velocità o altro vettore.

-I vettori unitari hanno una certa direzione, così come il senso, come il vettore unitario nella direzione verticale, che può avere direzione verso l'alto o verso il basso.

-I vettori unitari hanno un punto di origine. Quando rappresentato da un sistema di coordinate cartesiane, questo punto coincide con l'origine del sistema: (0,0) se è il piano o (0,0,0) se il vettore è nello spazio tridimensionale.

Le caratteristiche del vettore unitario. Fonte: Wikimedia Commons.

-Allo stesso modo, con i vettori unitari, si possono eseguire tutte le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione di vettori che vengono effettuate mediante vettori regolari. Pertanto, è valido moltiplicare il vettore unitario per uno scalare, nonché eseguire il prodotto puntiforme e il prodotto incrociato.

-Con un vettore unitario in una certa direzione, possono essere espressi altri vettori che sono anche orientati in quella direzione..

Vettori unitari nello spazio

Per esprimere qualsiasi vettore nello spazio o nel piano, è possibile utilizzare un insieme di vettori unitari perpendicolari tra loro, che formano una base ortonormale. Ciascuna delle tre direzioni preferenziali dello spazio ha il proprio vettore unitario.

Torniamo all'esempio delle forze dirette lungo l'asse orizzontale. Questo è l'asse x, che ha due possibilità: a destra ea sinistra. Supponiamo di avere un vettore unitario sull'asse x e diretto a destra, che possiamo denotare in uno qualsiasi di questi modi:

Ognuno di loro è valido. Supponiamo ora una forza F1 di magnitudine 5 N lungo questo asse e diretta a destra, tale forza potrebbe essere espressa come:


Se la forza fosse diretta lungo l'asse x ma nella direzione opposta, cioè a sinistra, si potrebbe utilizzare un segno negativo per stabilire questa differenza..

Ad esempio, una forza di magnitudine 8 N, situata sull'asse x e diretta a sinistra, sarebbe simile a questa:

O in questo modo:

E per i vettori che non sono diretti lungo gli assi cartesiani, c'è anche un modo per rappresentarli in termini di vettori unità ortogonali, dalle loro componenti cartesiane.

Come ottenere / calcolare il vettore unitario?

Per calcolare il vettore unitario nella direzione di qualsiasi vettore arbitrario v, si applica la seguente formula:

Dove:

È il modulo o la grandezza del vettore v, il cui quadrato è calcolato in questo modo:

|v|Due = (vX)Due +  (vY)Due+  (vz)Due

Un vettore arbitrario in termini di vettore unitario

In alternativa il vettore v può essere espresso in questo modo:

Cioè, il prodotto del suo modulo per il corrispondente vettore unitario. Questo è esattamente ciò che è stato fatto prima, parlando della forza di magnitudine 5 N diretta lungo l'asse x positivo.

Rappresentazione grafica

Graficamente il suddetto si vede in questa immagine, dove il vettore v è in blu e il vettore unitario corrispondente nella sua direzione è in rosso.

In questo esempio, il vettore v ha una grandezza maggiore di quella del vettore unitario, ma la spiegazione è valida anche se non lo è. In altre parole, possiamo avere vettori che sono ad esempio 0,25 volte il vettore unitario.

Esempi di vettori unitari

I vettori unità perpendicolari i, j e k

Come abbiamo visto prima, i vettori unitari perpendicolari io, j Y K sono molto utili per rappresentare qualsiasi altro vettore nel piano o nello spazio e per eseguire operazioni sui vettori. In termini di questi vettori, un vettore arbitrario v è rappresentato come:

v = vX io + vY j + vz K

Dove VX, vY e Vz sono i componenti rettangolari del vettore v, che sono scalari: non viene utilizzato alcun grassetto per rappresentarli nel testo stampato-.

Legge di Coulomb

I vettori unitari appaiono frequentemente in fisica. Abbiamo la legge di Coulomb, ad esempio, che descrive quantitativamente l'interazione tra due cariche elettriche puntiformi.

Afferma che la forza F l'attrazione o repulsione tra dette cariche è proporzionale al loro prodotto, inversamente proporzionale al quadrato della distanza che le separa ed è diretta nella direzione del vettore unitario che unisce le cariche.

Questo vettore è solitamente rappresentato da:

E la legge di Coulomb assomiglia a questa, in forma vettoriale:

Esercizio risolto

Trovare il vettore unitario nella direzione del vettore v = 5io + 4j -8K, dato in unità arbitrarie.

Soluzione

La definizione di vettore unitario data sopra si applica:

Ma prima dobbiamo calcolare il modulo del vettore, che avendo tre componenti, è determinato da:

|v|Due = (vX)Due +  (vY)Due +  (vz)Due

Rimanente:

|v|Due = (5)Due +  (4)Due +  (-8)Due= 25 + 16 + 64 = 105

Quindi il modulo v è:

|v| = √105

Il vettore unitario cercato è semplicemente:

Il che finalmente ci porta a:

v = 0,488 io + 0.390 j - 0.781 K

Riferimenti

  1. Bauer, W. 2011. Fisica per l'ingegneria e le scienze. Volume 1. Mc Graw Hill.
  2. Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley.
  3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
  4. Giambattista, A. 2010. Fisica. 2 °. Ed. McGraw Hill.
  5. Resnick, R. (1999). Fisico. Vol. 1. 3a Ed. In spagnolo. Azienda editoriale Continental S.A. di C.V.

Nessun utente ha ancora commentato questo articolo.