Il Variabile continua È uno che può assumere un numero infinito di valori numerici tra due valori dati, anche se questi due valori sono arbitrariamente vicini. Sono usati per descrivere attributi misurabili; per esempio altezza e peso. I valori che una variabile continua assume possono essere numeri razionali, numeri reali o numeri complessi, sebbene quest'ultimo caso sia meno frequente nelle statistiche.
La caratteristica principale delle variabili continue è che tra due valori razionali o reali se ne trova sempre un altro, e tra quell'altro e il primo si può trovare un altro valore, e così via all'infinito..
Ad esempio, supponiamo il peso variabile in un gruppo in cui il più pesante pesa 95 kg e il più basso pesa 48 kg; quello sarebbe l'intervallo della variabile e il numero di valori possibili è infinito.
Ad esempio tra 50,00 kg e 50,10 kg può essere 50,01. Ma tra 50.00 e 50.01 può essere la misura 50.005. Questa è una variabile continua. Se invece nelle possibili misure di peso si stabilisse una precisione di un solo decimale allora la variabile utilizzata sarebbe discreta.
Le variabili continue appartengono alla categoria delle variabili quantitative, perché hanno un valore numerico ad esse associato. Con questo valore numerico è possibile eseguire operazioni matematiche che vanno da metodi aritmetici a metodi di calcolo infinitesimali..
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La maggior parte delle variabili in fisica sono variabili continue, tra queste possiamo nominare: lunghezza, tempo, velocità, accelerazione, energia, temperatura e altre.
In statistica si possono definire vari tipi di variabili, sia qualitative che quantitative. Le variabili continue appartengono a quest'ultima categoria. Con loro è possibile eseguire operazioni aritmetiche e di calcolo.
Ad esempio la variabile h, corrispondente a persone di altezza compresa tra 1,50 me 1,95 m, è una variabile continua.
Confrontiamo questa variabile con quest'altra: il numero di volte in cui il lancio di una moneta esce testa, che chiameremo n.
La variabile n può assumere valori compresi tra 0 e infinito, tuttavia n Non è una variabile continua poiché non può assumere il valore 1,3 o 1,5, perché tra i valori 1 e 2 non ce ne sono altri. Questo è un esempio di variabile discreta.
Considera il seguente esempio: una macchina produce fiammiferi e li confeziona nella sua scatola. Vengono definite due variabili statistiche:
Variabile 1: L = Lunghezza della partita.
Variabile 2: N = Numero di corrispondenze per scatola.
La lunghezza nominale della partita è di 5,0 cm con una tolleranza di 0,1 cm. Il numero di fiammiferi per scatola è 50 con una tolleranza di 3.
a) Indicare l'intervallo di valori che può assumere L Y N.
b) Quanti valori può assumere L?
c) Quanti valori può assumere n?
Indicare in ogni caso se si tratta di una variabile discreta o continua.
I valori di L sono nell'intervallo [5,0-0,1; 5,0 + 0,1]; vale a dire che il valore di L è nell'intervallo [4,9 cm; 5,1 cm] e la variabile L può assumere valori infiniti tra queste due misure. È quindi una variabile continua.
Il valore della variabile n è nell'intervallo [47; 53]. La variabile n può assumere solo 6 valori possibili nell'intervallo di tolleranza, è quindi una variabile discreta.
Se oltre ad essere continui, i valori assunti dalla variabile hanno una certa probabilità di accadimento ad essi associata, allora è un variabile casuale continua. È molto importante distinguere se la variabile è discreta o continua, poiché i modelli probabilistici applicabili all'una e all'altra sono diversi..
Una variabile casuale continua è completamente definita quando i valori che può assumere sono noti e la probabilità che ciascuno di essi abbia di accadere..
Il matchmaker li fa in modo che la lunghezza dei bastoncini sia sempre compresa tra i valori 4,9 cm e 5,1 cm, e zero al di fuori di questi valori. C'è la probabilità di ottenere un bastoncino che misura tra 5,00 e 5,05 cm, anche se potremmo estrarne anche uno di 5.0003 cm. Questi valori sono ugualmente probabili?.
Supponiamo che la densità di probabilità sia uniforme. Le probabilità di trovare una corrispondenza con una certa durata sono elencate di seguito:
-Che un fosforo è nell'intervallo [4,9; 5.1] ha probabilità = 1 (o 100%), poiché la macchina non disegna corrispondenze al di fuori di questi valori.
-Trovare una corrispondenza compresa tra 4,9 e 5,0 ha probabilità = ½ = 0,5 (50%), poiché è la metà dell'intervallo di lunghezze.
-E anche la probabilità che la corrispondenza abbia una durata compresa tra 5,0 e 5,1 è 0,5 (50%)
-È noto che non esistono fiammiferi di lunghezza compresa tra 5,0 e 5,2. Probabilità: zero (0%).
Osserviamo ora le seguenti probabilità P di ottenere bastoncini di lunghezza compresa tra l1 e ioDue:
P = (lDue -l1) / (Lmax - Lmin)
-P per una corrispondenza che abbia una lunghezza compresa tra 5.00 e 5.05 è indicata come P ([5,00, 5,05]):
P ([5,00, 5,05]) = (5,05 - 5,00) / (5,1 - 4,9) = 0,05 / 0,2 = ¼ = 0,25 (25%)
-P che la collina abbia lunghezza compresa tra 5.00 e 5.01 è:
P ([5,00, 5,01]) = (5,00 - 5,01) / (5,1 - 4,9) = 0,01 / 0,2 = 1/20 = 0,05 (5%)
-P che la collina abbia una lunghezza compresa tra 5.000 e 5.001 è anche meno:
P (5.000; 5,001) = 0,001 / 0,2 = 1/200 = 0,005 (0,5%)
Se continuiamo a diminuire l'intervallo per avvicinarci sempre di più a 5,00, la probabilità che uno stuzzicadenti sia esattamente 5,00 cm è zero (0%). Quello che abbiamo è la probabilità di trovare una corrispondenza entro un certo intervallo.
Se gli eventi sono indipendenti, la probabilità che due stuzzicadenti siano in un certo intervallo è il prodotto delle loro probabilità.
-La probabilità che due stuzzicadenti siano tra 5,0 e 5,1 è 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)
-La probabilità che 50 stuzzicadenti siano tra 5,0 e 5,1 è (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, cioè quasi zero.
-La probabilità che 50 stuzzicadenti siano tra 4,9 e 5,1 è (1) ^ 50 = 1 (100%)
Nell'esempio precedente, si è ipotizzato che la probabilità sia uniforme nell'intervallo dato, tuttavia, non è sempre così..
Nel caso della macchina reale che produce gli stuzzicadenti, la possibilità che lo stuzzicadenti si trovi al valore centrale è maggiore di quanto non lo sia a uno dei valori estremi. Da un punto di vista matematico questo è modellato con una funzione f (x) nota come densità di probabilità.
La probabilità che la misura L sia compresa tra aeb è calcolata dall'integrale definito della funzione f (x) tra aeb.
Ad esempio, supponiamo di voler trovare la funzione f (x), che rappresenta una distribuzione uniforme tra i valori 4.9 e 5.1 dell'esercizio 1.
Se la distribuzione di probabilità è uniforme, allora f (x) è uguale alla costante c, che è determinata prendendo l'integrale tra 4.9 e 5.1 di c. Poiché questo integrale è la probabilità, il risultato deve essere 1.
Ciò significa che c vale 1 / 0,2 = 5. Cioè, la funzione di densità di probabilità uniforme è f (x) = 5 se 4,9≤x≤5,1 e 0 al di fuori di questo intervallo. La figura 2 mostra una funzione di densità di probabilità uniforme.
Nota come in intervalli della stessa larghezza (ad esempio 0,02) la probabilità sia la stessa al centro che alla fine dell'intervallo della variabile continua L (lunghezza del bastone).
Un modello più realistico sarebbe una funzione di densità di probabilità come la seguente:
-f (x) = - 750 ((x-5,0) ^ 2-0,01) se 4,9≤x≤5,1
-0 fuori da questo intervallo
Nella figura 3 si può vedere come la probabilità di trovare stuzzicadenti tra 4,99 e 5,01 (larghezza 0,02) sia maggiore di quella di trovare stuzzicadenti tra 4,90 e 4,92 (larghezza 0,02)
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