UN triangolo isoscele è un poligono con tre lati, dove due hanno la stessa misura e il terzo lato una misura diversa. Quest'ultimo lato è chiamato base. A causa di questa caratteristica è stato dato questo nome, che in greco significa "gambe uguali"
I triangoli sono poligoni considerati i più semplici in geometria, perché sono formati da tre lati, tre angoli e tre vertici. Sono quelli che hanno il minor numero di lati e angoli rispetto agli altri poligoni, tuttavia il loro utilizzo è molto ampio.
Indice articolo
Il triangolo isoscele è stato classificato utilizzando la misura dei suoi lati come parametro, poiché due dei suoi lati sono congruenti (hanno la stessa lunghezza).
In base all'ampiezza degli angoli interni, i triangoli isosceli sono classificati come:
I triangoli isosceli sono definiti o identificati perché hanno diverse proprietà che li rappresentano, originati dai teoremi proposti dai grandi matematici:
La somma degli angoli interni è sempre pari a 180o.
La somma delle misure di due lati deve essere sempre maggiore della misura del terzo lato, a + b> c.
I triangoli isosceli hanno due lati con la stessa misura o lunghezza; cioè sono congruenti e il terzo lato è diverso da questi.
I triangoli isosceli sono noti anche come triangoli isoangle, perché hanno due angoli che hanno la stessa misura (congruente). Questi si trovano alla base del triangolo, opposti ai lati che hanno la stessa lunghezza.
A causa di ciò, è stato generato il teorema che afferma che:
"Se un triangolo ha due lati congruenti, anche gli angoli opposti a quei lati saranno congruenti." Pertanto, se un triangolo è isoscele, gli angoli delle sue basi sono congruenti.
Esempio:
La figura seguente mostra un triangolo ABC. Disegnando la sua bisettrice dal vertice dell'angolo B alla base, il triangolo viene diviso in due triangoli uguali BDA e BDC:
In questo modo anche l'angolo del vertice B è stato diviso in due angoli uguali. La bisettrice è ora il lato comune (BD) tra questi due nuovi triangoli, mentre i lati AB e BC sono i lati congruenti. Quindi abbiamo il caso di congruenza lato, angolo, lato (LAL).
Ciò mostra che gli angoli dei vertici A e C hanno la stessa misura, così come si può dimostrare che poiché i triangoli BDA e BDC sono congruenti, anche i lati AD e DC sono congruenti..
La linea che si traccia dal vertice opposto alla base al punto medio della base del triangolo isoscele, è allo stesso tempo l'altezza, la mediana e la bisettrice, nonché la bisettrice rispetto all'angolo opposto della base..
Tutti questi segmenti coincidono in uno che li rappresenta.
Esempio:
La figura seguente mostra il triangolo ABC con un punto medio M che divide la base in due segmenti BM e CM.
Disegnando un segmento dal punto M al vertice opposto, per definizione si ottiene la mediana AM, che è relativa al vertice A e al lato BC.
Poiché il segmento AM divide il triangolo ABC in due triangoli uguali AMB e AMC, significa che si avrà il caso di congruenza lato, angolo, lato e quindi AM sarà anche la bisettrice di BÂC.
Pertanto, la bisettrice sarà sempre uguale alla mediana e viceversa..
Il segmento AM forma angoli che hanno la stessa misura per i triangoli AMB e AMC; cioè sono supplementari in modo tale che la misura di ciascuno sarà:
Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180o
Due * Med. (AMC) = 180o
Med. (AMC) = 180o ÷ 2
Med. (AMC) = 90o
Si può sapere che gli angoli formati dal segmento AM rispetto alla base del triangolo sono retti, il che indica che questo segmento è totalmente perpendicolare alla base..
Rappresenta quindi l'altezza e la bisettrice, sapendo che M è il punto medio.
Pertanto la linea AM:
Anche le altezze relative a lati uguali hanno la stessa misura.
Poiché il triangolo isoscele ha due lati uguali, anche le loro due rispettive altezze saranno uguali..
Poiché l'altezza, mediana, bisettrice e bisettrice rispetto alla base, sono rappresentate contemporaneamente dallo stesso segmento, l'ortocentro, il baricentro centrale e il circumcentro saranno punti collineari, cioè saranno sulla stessa linea:
Il perimetro di un poligono si calcola sommando i lati.
Poiché in questo caso il triangolo isoscele ha due lati con la stessa misura, il suo perimetro viene calcolato con la seguente formula:
P = 2*(lato a) + (lato b).
L'altezza è la linea perpendicolare alla base, divide il triangolo in due parti uguali in quanto si estende fino al vertice opposto.
L'altezza rappresenta la gamba opposta (a), il centro della base (b / 2) la gamba adiacente e il lato “a” rappresenta l'ipotenusa.
Usando il teorema di Pitagora, il valore dell'altezza può essere determinato:
perDue + bDue = cDue
Dove:
perDue = altezza (h).
bDue = b / 2.
cDue = lato a.
Sostituendo questi valori nel teorema di Pitagora e risolvendo l'altezza, abbiamo:
hDue + (b / Due)Due = perDue
hDue + bDue / 4 = perDue
hDue = perDue - bDue / 4
h = √ (perDue - bDue / 4).
Se si conosce l'angolo formato dai lati congruenti, l'altezza può essere calcolata con la seguente formula:
L'area dei triangoli si calcola sempre con la stessa formula, moltiplicando la base per l'altezza e dividendo per due:
Ci sono casi in cui sono note solo le misure di due lati del triangolo e l'angolo formato tra di loro. In questo caso, per determinare l'area è necessario applicare i rapporti trigonometrici:
Poiché il triangolo isoscele ha due lati uguali, per determinare il valore della sua base è necessario conoscere almeno la misura dell'altezza o uno dei suoi angoli.
Conoscendo l'altezza, viene utilizzato il teorema di Pitagora:
perDue + bDue = cDue
Dove:
perDue = altezza (h).
cDue = lato a.
bDue = b / 2, è sconosciuto.
Risolviamo per bDue della formula e dobbiamo:
bDue = aDue - cDue
b = √ aDue - cDue
Poiché questo valore corrisponde alla metà della base, deve essere moltiplicato per due per ottenere la misura completa della base del triangolo isoscele:
b = 2 * (√ aDue - cDue)
Nel caso in cui si conosca solo il valore dei suoi lati uguali e l'angolo tra loro, si applica la trigonometria, tracciando una linea dal vertice alla base che divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli.
In questo modo si calcola metà della base con:
È anche possibile che siano noti solo il valore dell'altezza e dell'angolo del vertice opposto alla base. In tal caso, mediante trigonometria, la base può essere determinata:
Trova l'area del triangolo isoscele ABC, sapendo che due dei suoi lati sono 10 cm e il terzo lato è 12 cm.
Soluzione
Per trovare l'area del triangolo, è necessario calcolare l'altezza utilizzando la formula dell'area che è correlata al teorema di Pitagora, poiché il valore dell'angolo formato tra i lati uguali non è noto.
Abbiamo i seguenti dati del triangolo isoscele:
I valori vengono sostituiti nella formula:
La lunghezza dei due lati uguali di un triangolo isoscele è di 42 cm, l'unione di questi lati forma un angolo di 130o. Determina il valore del terzo lato, l'area di quel triangolo e il perimetro.
Soluzione
In questo caso sono note le misure dei lati e l'angolo tra di loro..
Per conoscere il valore del lato mancante, cioè la base di quel triangolo, si traccia una linea perpendicolare ad esso, dividendo l'angolo in due parti uguali, una per ogni triangolo rettangolo che si forma.
Ora per trigonometria si calcola il valore della metà della base, che corrisponde alla metà dell'ipotenusa:
Per calcolare l'area è necessario conoscere l'altezza di quel triangolo che può essere calcolata dalla trigonometria o dal teorema di Pitagora, ora che il valore della base è già stato determinato.
Per trigonometria sarà:
Il perimetro viene calcolato:
P = 2*(lato a) + (lato b).
P = 2* (42 cm) + (76 cm)
P = 84 cm + 76 cm
P = 160 cm.
Calcola gli angoli interni del triangolo isoscele, sapendo che l'angolo della base è Â = 55o
Soluzione
Per trovare i due angoli mancanti (Ê e Ô) è necessario ricordare due proprietà dei triangoli:
 + Ê + Ô = 180 o
 = Ô
Ê = 55o
Per determinare il valore dell'angolo Ê, sostituiamo i valori degli altri angoli nella prima regola e risolviamo per Ê:
55o + 55o + Ô = 180 o
110 o + Ô = 180 o
Ô = 180 o - 110 o
Ô = 70 o.
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