UN trapezio isoscele è un quadrilatero in cui due dei lati sono paralleli tra loro e inoltre, i due angoli adiacenti a uno di quei lati paralleli hanno la stessa misura.
Nella figura 1 abbiamo il quadrilatero ABCD, in cui i lati AD e BC sono paralleli. Inoltre, gli angoli ∠DAB e ∠ADC adiacenti al lato parallelo AD hanno la stessa misura α.
Quindi questo quadrilatero, o poligono quadrilatero, è in effetti un trapezio isoscele.
In un trapezio, vengono chiamati i lati paralleli basi e si chiamano i non paralleli laterale. Un'altra caratteristica importante è il altezza, che è la distanza che separa i lati paralleli.
Oltre al trapezio isoscele esistono altri tipi di trapezio:
-Trana pescatrice scalena, che ha tutti i suoi diversi angoli e lati.
-Trana pescatrice rettangolo, in cui un laterale ha angoli adiacenti retti.
La forma trapezoidale è comune in vari campi del design, architettura, elettronica, calcolo e molti altri, come vedremo più avanti. Da qui l'importanza di familiarizzare con le sue proprietà.
Indice articolo
Se un trapezio è isoscele, ha le seguenti proprietà caratteristiche:
1.- I lati hanno la stessa misura.
2.- Gli angoli adiacenti alle basi sono uguali.
3.- Gli angoli opposti sono supplementari.
4.- Le diagonali hanno la stessa lunghezza, essendo uguali i due segmenti che uniscono i vertici opposti.
5.- L'angolo formato tra le basi e le diagonali sono tutti della stessa misura.
6.- Ha una circonferenza circoscritta.
Al contrario, se un trapezio soddisfa una delle proprietà di cui sopra, allora è un trapezio isoscele.
Se in un trapezio isoscele uno degli angoli è retto (90º), anche tutti gli altri angoli saranno retti, formando un rettangolo. Cioè, un rettangolo è un caso particolare di trapezio isoscele.
Il seguente insieme di proprietà è valido per qualsiasi trapezio:
7.- Il mediano del trapezio, cioè il segmento che unisce i punti medi dei suoi lati non paralleli, è parallelo a una qualsiasi delle basi.
8.- La lunghezza della mediana è uguale alla semi-somma (somma divisa per 2) di quella delle sue basi.
9.- La mediana di un trapezio taglia le sue diagonali nel punto medio.
10.- Le diagonali di un trapezio si intersecano in un punto che le divide in due sezioni proporzionali ai quozienti delle basi.
11.- La somma dei quadrati delle diagonali di un trapezio è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati più il doppio prodotto delle sue basi.
12.- Il segmento che unisce i punti medi delle diagonali ha una lunghezza pari alla semidifferenza delle basi.
13.- Gli angoli adiacenti a quelli laterali sono supplementari.
14.- Un trapezio ha una circonferenza inscritta se e solo se la somma delle sue basi è uguale alla somma dei suoi lati.
15.- Se un trapezio ha una circonferenza inscritta, gli angoli con un vertice al centro di detta circonferenza e i lati che passano per le estremità dello stesso lato sono angoli retti.
Il seguente insieme di relazioni e formule fa riferimento alla figura 3, dove oltre al trapezio isoscele vengono mostrati altri importanti segmenti già citati, come diagonali, altezza e mediana.
1.- AB = DC = c = d
2.- ∡DAB = ∡CDA e ∡ABC = ∡BCD
3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º e ∡CDA + ∡ABC = 180º
4.- BD = AC
5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α1
6.- A, B, C e D appartengono al cerchio circoscritto.
8.- KL = (AD + BC) / 2
9.- AM = MC = AC / 2 e DN = NB = DB / 2
10.- AO / OC = AD / BC e DO / OB = AD / BC
11.- ACDue + DBDue = ABDue + DCDue + 2⋅AD⋅BC
12.- MN = (d.C. - a.C.) / 2
13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º e ∡CDA + ∡BCD = 180º
14.- Se AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R che equidistante da AD, BC, AB e DC
15.- Se ∃ R equidistante da AD, BC, AB e DC, allora:
∡BRA = ∡DRC = 90º
Se in un trapezio isoscele la somma delle basi è uguale a due volte quella laterale, allora esiste la circonferenza inscritta.
Le seguenti proprietà si applicano quando il trapezio isoscele ha una circonferenza inscritta (vedere la figura 4 sopra):
16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2
17.- Le diagonali si intersecano ad angolo retto: AC ⊥ BD
18.- L'altezza misura la stessa della mediana: HF = KL, cioè h = m.
19.- Il quadrato dell'altezza è uguale al prodotto delle basi: hDue = BC⋅AD
20.- In queste condizioni specifiche, l'area del trapezio è uguale al quadrato dell'altezza o al prodotto delle basi: Area = hDue = BC⋅AD.
Nota una base, la laterale e un angolo, l'altra base può essere determinata da:
a = b + 2c Cos α
b = a - 2c Cos α
Se la lunghezza delle basi e un angolo sono indicati come dati noti, le lunghezze di entrambi i lati sono:
c = (a - b) / (2 Cos α)
a = (d1Due - cDue) / b;
b = (d1Due - cDue)/ per
c = √ (d1Due - a⋅b)
Dove d1 è la lunghezza delle diagonali.
a = (2 A) / h - b
b = (2 A) / h - a
c = (2A) / [(a + b) sin α]
c = A / (m sin α)
h = √ [4 cDue - (a - b)Due]
h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α
d1 = √ (cDue+ a b)
d1 = √ (aDue+ cDue - 2 a c Cos α)
d1 = √ (bDue + cDue- 2 b c Cos β)
P = a + b + 2c
Esistono diverse formule per il calcolo dell'area, a seconda dei dati noti. Il seguente è il più noto, a seconda delle basi e dell'altezza:
A = h⋅ (a + b) / 2
E puoi anche usare questi altri:
A = [(a + b) / 4] √ [4cDue - (a - b)Due]
A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α
A = 4 rDue / Sen α = 4 rDue / Sen β
A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β
A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2
A = (d1Due/ 2) Sen γ = (d1Due / 2) Sen δ
A = mc.sen α = mc.sen β
Solo i trapezi isosceli hanno una circonferenza circoscritta. Se si conosce la base maggiore a, il laterale ce la diagonale d1, quindi il raggio R del cerchio che passa per i quattro vertici del trapezio è:
R = a⋅c⋅d1 / 4√ [p (p -a) (p -c) (p - d1)]
Dove p = (a + c + d1) / Due
Il trapezio isoscele appare nel campo del design, come mostrato nella Figura 2. E qui ci sono alcuni esempi aggiuntivi:
Gli antichi Incas conoscevano il trapezio isoscele e lo usavano come elemento da costruzione in questa finestra a Cuzco, in Perù:
E qui il trapezio riappare nella chiamata lamiera trapezoidale, un materiale frequentemente utilizzato nella costruzione:
Abbiamo già visto che il trapezio isoscele appare negli oggetti di uso quotidiano, inclusi cibi come questa barretta di cioccolato:
Un trapezio isoscele ha una base maggiore di 9 cm, una base inferiore a 3 cm e le sue diagonali 8 cm ciascuna. Calcolare:
a parte
b) Altezza
c) Perimetro
d) Area
Viene tracciata l'altezza CP = h, dove il piede dell'altezza definisce i segmenti:
PD = x = (a-b) / 2 a
AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.
Usando il teorema di Pitagora per il triangolo rettangolo DPC:
cDue = hDue + (a - b)Due / 4
E anche al triangolo rettangolo APC:
dDue = hDue + APDue = hDue + (a + b)Due / 4
Infine, membro per membro, la seconda equazione viene sottratta dalla prima e semplificata:
dDue - cDue = ¼ [(a + b)Due - (a-b)Due] = ¼ [(a + b + a-b) (a + b-a + b)]
dDue - cDue = ¼ [2a 2b] = a b
cDue= dDue - a b ⇒ c = √ (dDue - a b) = √ (8Due - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm
hDue = dDue - (a + b)Due / 4 = 8Due - (12Due / DueDue ) = 8Due - 6Due = 28
h = 2 √7 = 5,29 cm
Perimetro = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm
Area = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm
C'è un trapezio isoscele la cui base più grande è il doppio della più piccola e la sua base più piccola è uguale all'altezza, che è di 6 cm. Decidere:
a) La lunghezza del laterale
b) Perimetro
c) Area
d) Angoli
Dati: a = 12, b = a / 2 = 6 e h = b = 6
Procediamo in questo modo: si disegna l'altezza h e si applica il teorema di Pitagora all'ipotenusa triangolo “c” e alle gambe he x:
cDue = hDue+xcDue
Quindi devi calcolare il valore dell'altezza dai dati (h = b) e quello della gamba x:
a = b + 2 x ⇒ x = (a-b) / 2
Sostituendo le espressioni precedenti abbiamo:
cDue = bDue+(a-b)Due/DueDue
Ora vengono introdotti i valori numerici e si semplifica:
cDue = 62+ (12-6) 2/4
cDue = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)
Ottenere:
c = 3√5 = 6,71 cm
Il perimetro P = a + b + 2 c
P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm
L'area in funzione dell'altezza e della lunghezza delle basi è:
A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cmDue
L'angolo α formato dal laterale con la base maggiore si ottiene per trigonometria:
Tan (α) = h / x = 6/3 = 2
α = ArcTan (2) = 63,44º
L'altro angolo, quello che forma il laterale con la base minore, è β, che è supplementare ad α:
β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º
Nessun utente ha ancora commentato questo articolo.