Il Trasformata di Laplace Negli ultimi anni è stato di grande importanza negli studi di ingegneria, matematica e fisica, tra le altre aree scientifiche, poiché oltre ad essere di grande interesse teorico, fornisce un modo semplice per risolvere problemi che derivano dalla scienza e dall'ingegneria..
Originariamente la trasformata di Laplace è stata presentata da Pierre-Simón Laplace nel suo studio sulla teoria della probabilità ed è stata inizialmente trattata come un oggetto matematico di interesse puramente teorico..
Le attuali applicazioni sorgono quando vari matematici hanno cercato di dare una giustificazione formale alle "regole operative" usate da Heaviside nello studio delle equazioni della teoria elettromagnetica..
Indice articolo
Sia f una funzione definita per t ≥ 0. La trasformata di Laplace è definita come segue:
Si dice che la trasformata di Laplace esiste se l'integrale precedente converge, altrimenti si dice che la trasformata di Laplace non esiste.
In generale, le lettere minuscole vengono utilizzate per indicare la funzione da trasformare e la lettera maiuscola corrisponde alla sua trasformazione. In questo modo avremo:
Considera la funzione costante f (t) = 1. Abbiamo che la sua trasformazione è:
Ogni volta che l'integrale converge, cioè ogni volta che s> 0. Altrimenti, s < 0, la integral diverge.
Sia g (t) = t. La sua trasformata di Laplace è data da
Integrando per parti e sapendo che tu-st tende a 0 quando t tende a infinito es> 0, insieme all'esempio precedente abbiamo:
La trasformata può o non può esistere, ad esempio per la funzione f (t) = 1 / t l'integrale che definisce la sua trasformata di Laplace non converge e quindi la sua trasformata non esiste.
Le condizioni sufficienti per garantire che esista la trasformata di Laplace di una funzione f sono che f sia continua in parti per t ≥ 0 e sia di ordine esponenziale.
Una funzione si dice continua a tratti per t ≥ 0, quando per ogni intervallo [a, b] con a> 0, c'è un numero finito di punti tK, dove f ha discontinuità ed è continua in ogni sottointervallo [tk-1,tK].
D'altra parte, si dice che una funzione è di ordine esponenziale c se ci sono costanti reali M> 0, ce T> 0 tali che:
Come esempi abbiamo che f (t) = tDue è di ordine esponenziale, poiché | tDue| < e3t per ogni t> 0.
Formalmente abbiamo il seguente teorema
Se f è una funzione parzialmente continua per t> 0 e di ordine esponenziale c, allora esiste la trasformata di Laplace per s> c.
È importante notare che questa è una condizione di sufficienza, cioè potrebbe essere il caso che ci sia una funzione che non soddisfa queste condizioni e anche così esiste la sua trasformata di Laplace.
Un esempio di ciò è la funzione f (t) = t-1/2 che non è continua a tratti per t ≥ 0 ma esiste la sua trasformata di Laplace.
La tabella seguente mostra le trasformate di Laplace delle funzioni più comuni.
La trasformata di Laplace deve il suo nome a Pierre-Simon Laplace, un matematico francese e astronomo teorico nato nel 1749 e morto nel 1827. La sua fama era tale che era conosciuto come il Newton di Francia.
Nel 1744 Leonard Euler dedicò i suoi studi agli integrali con la forma
come soluzioni di equazioni differenziali ordinarie, ma abbandonò rapidamente questa indagine. Successivamente, Joseph Louis Lagrange, che ammirava molto Eulero, studiò anche questo tipo di integrali e li collegò alla teoria della probabilità.
Nel 1782 Laplace iniziò a studiare questi integrali come soluzioni di equazioni differenziali e secondo gli storici, nel 1785 decise di riformulare il problema, che in seguito diede origine alle trasformate di Laplace così come vengono intese oggi..
Essendo stato introdotto nel campo della teoria della probabilità, era di scarso interesse per gli scienziati del tempo ed era visto solo come un oggetto matematico di interesse solo teorico..
Era la metà del XIX secolo quando l'ingegnere inglese Oliver Heaviside scoprì che gli operatori differenziali possono essere trattati come variabili algebriche, dando così alle trasformate di Laplace la loro moderna applicazione..
Oliver Heaviside era un fisico, ingegnere elettrico e matematico inglese nato a Londra nel 1850 e morto nel 1925. Mentre cercava di risolvere problemi di equazioni differenziali applicati alla teoria delle vibrazioni e utilizzando gli studi di Laplace, iniziò a dare forma alle moderne applicazioni delle trasformate di Laplace.
I risultati presentati da Heaviside si diffusero rapidamente nella comunità scientifica dell'epoca, ma poiché il suo lavoro non era rigoroso, fu rapidamente criticato dai matematici più tradizionali..
Tuttavia, l'utilità del lavoro di Heaviside nella risoluzione di equazioni in fisica ha reso i suoi metodi popolari tra fisici e ingegneri..
Nonostante queste battute d'arresto e dopo alcuni decenni di tentativi falliti, all'inizio del XX secolo si poteva dare una rigorosa giustificazione alle regole operative date da Heaviside..
Questi tentativi hanno dato i loro frutti grazie agli sforzi di vari matematici come Bromwich, Carson, van der Pol, tra gli altri..
Tra le proprietà della trasformata di Laplace, spiccano le seguenti:
Siano c1 e c2 costanti e funzioni f (t) eg (t) le cui trasformate di Laplace sono rispettivamente F (s) e G (s), allora abbiamo:
A causa di questa proprietà, si dice che la trasformata di Laplace sia un operatore lineare.
Esempio
Se succede che:
E 'a' è qualsiasi numero reale, quindi:
Esempio
Poiché la trasformata di Laplace di cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) allora:
sì
Poi
Esempio
Se f (t) = t ^ 3, allora F (s) = 6 / s ^ 4. E quindi la trasformazione di
è G (s) = 6e-2s/ s ^ 4
sì
E 'a' è un reale diverso da zero, dobbiamo
Esempio
Poiché la trasformata di f (t) = sin (t) è F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) abbiamo
Se f, f ', f ",…, f(n) sono continui per t ≥ 0 e sono di ordine esponenziale e f(n)(t) è continua a tratti per t ≥ 0, allora
sì
Poi
Se dobbiamo
Poi
Se dobbiamo
Poi
Sia f una funzione periodica con periodo T> 0, cioè f (t + T) = f (t), allora
Se f è continua in parti e di ordine esponenziale e
Poi
Quando applichiamo la trasformata di Laplace a una funzione f (t) otteniamo F (s), che rappresenta detta trasformata. Allo stesso modo possiamo dire che f (t) è la trasformata di Laplace inversa di F (s) ed è scritto come
Sappiamo che le trasformate di Laplace di f (t) = 1 e g (t) = t sono F (s) = 1 / se G (s) = 1 / sDue rispettivamente, quindi dobbiamo
Alcune trasformazioni inverse di Laplace comuni sono le seguenti
Inoltre, la trasformata inversa di Laplace è lineare, cioè è vero che
Trova
Per risolvere questo esercizio dobbiamo abbinare la funzione F (s) con una della tabella precedente. In questo caso se prendiamo n + 1 = 5 e usando la proprietà di linearità della trasformata inversa, moltiplichiamo e dividiamo per 4! Ottenere
Per la seconda trasformata inversa applichiamo frazioni parziali per riscrivere la funzione F (s) e quindi la proprietà della linearità, ottenendo
Come possiamo vedere da questi esempi, è comune che la funzione F (s) valutata non corrisponda esattamente a nessuna delle funzioni fornite nella tabella. Per questi casi, come si vede, è sufficiente riscrivere la funzione fino a raggiungere la forma appropriata.
La principale applicazione delle trasformate di Laplace è la risoluzione di equazioni differenziali.
Usando la proprietà transform di una derivata è chiaro che
E delle derivate n-1 valutate at = 0.
Questa proprietà rende la trasformata molto utile per risolvere problemi ai valori iniziali in cui sono coinvolte equazioni differenziali a coefficienti costanti..
I seguenti esempi mostrano come utilizzare la trasformata di Laplace per risolvere equazioni differenziali.
Dato il seguente problema di valore iniziale
Usa la trasformata di Laplace per trovare la soluzione.
Applichiamo la trasformata di Laplace a ciascun membro dell'equazione differenziale
Dalla proprietà della trasformata di una derivata che abbiamo
Sviluppando tutta l'espressione e cancellando Y (s) siamo rimasti
Usando le frazioni parziali per riscrivere il lato destro dell'equazione che otteniamo
Infine, il nostro obiettivo è trovare una funzione y (t) che soddisfi l'equazione differenziale. L'uso della trasformata inversa di Laplace ci dà il risultato
Risolvere
Come nel caso precedente, applichiamo la trasformazione su entrambi i lati dell'equazione e separiamo termine per termine.
In questo modo abbiamo come risultato
Sostituendo con i valori iniziali dati e risolvendo Y (s)
Usando semplici frazioni possiamo riscrivere l'equazione come segue
E l'applicazione della trasformata inversa di Laplace ci dà il risultato
In questi esempi, potresti giungere alla conclusione sbagliata che questo metodo non è molto migliore dei metodi tradizionali per risolvere le equazioni differenziali..
Il vantaggio della trasformata di Laplace è che non è necessario utilizzare la variazione dei parametri o preoccuparsi dei vari casi del metodo del coefficiente indeterminato..
Inoltre, quando si risolvono problemi di valore iniziale con questo metodo, fin dall'inizio utilizziamo le condizioni iniziali, quindi non è necessario eseguire altri calcoli per trovare la soluzione particolare.
La trasformata di Laplace può anche essere utilizzata per trovare soluzioni a equazioni differenziali ordinarie simultanee, come mostra il seguente esempio.
Organizzare
Con le condizioni iniziali x (0) = 8 e y (0) = 3.
Se dobbiamo
Poi
La soluzione ci dà come risultato
E applicando la trasformata inversa di Laplace che abbiamo
La trasformata di Laplace è di grande importanza in fisica, ha principalmente applicazioni per la meccanica e i circuiti elettrici.
Un semplice circuito elettrico è costituito dai seguenti elementi
Un interruttore, una batteria o una sorgente, un induttore, un resistore e un condensatore. Quando l'interruttore è chiuso viene prodotta una corrente elettrica che è indicata con i (t). La carica del condensatore è indicata da q (t).
Per la seconda legge di Kirchhoff, la tensione prodotta dalla sorgente E al circuito chiuso deve essere uguale alla somma di ciascuna delle cadute di tensione.
La corrente elettrica i (t) è correlata alla carica q (t) sul condensatore da i = dq / dt. D'altra parte, la caduta di tensione in ciascuno degli elementi è definita come segue:
La caduta di tensione su un resistore è iR = R (dq / dt)
La caduta di tensione su un induttore è L (di / dt) = L (dDueq / dtDue)
La caduta di tensione su un condensatore è q / C
Con questi dati e applicando la seconda legge di Kirchhoff al circuito chiuso semplice, si ottiene un'equazione differenziale del secondo ordine che descrive il sistema e permette di determinare il valore di q (t).
Un induttore, un condensatore e un resistore sono collegati a una batteria E, come mostrato in figura. L'induttore è di 2 henry, il condensatore è di 0,02 farad e la resistenza è di 16 ohm. All'istante t = 0 il circuito è chiuso. Trova la carica e la corrente in qualsiasi momento t> 0 se E = 300 volt.
Abbiamo che l'equazione differenziale che descrive questo circuito è la seguente
Dove le condizioni iniziali sono q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).
Applicando la trasformata di Laplace lo otteniamo
E risolvendo per Q (t)
Quindi, applicando la trasformata inversa di Laplace che abbiamo
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