Il teorema binomiale è un'equazione che ci dice come sviluppare un'espressione della forma (a + b)n per qualche numero naturale n. Un binomio non è altro che la somma di due elementi, come (a + b). Ci permette anche di conoscere un termine dato da aKbn-k qual è il coefficiente che lo accompagna.
Questo teorema è comunemente attribuito all'inventore, fisico e matematico inglese Sir Isaac Newton; Tuttavia, sono stati trovati vari documenti che indicano che la sua esistenza era già nota in Medio Oriente, intorno all'anno 1000.
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Il teorema binomiale ci dice matematicamente quanto segue:
In questa espressione aeb sono numeri reali e n è un numero naturale.
Prima di dare la demo, diamo un'occhiata ad alcuni concetti di base che sono necessari.
Il numero o le combinazioni combinatorie di n in k è espresso come segue:
Questa forma esprime il valore di quanti sottoinsiemi con k elementi possono essere scelti da un insieme di n elementi. La sua espressione algebrica è data da:
Facciamo un esempio: supponiamo di avere un gruppo di sette palline, di cui due rosse e le altre blu..
Vogliamo sapere in quanti modi possiamo disporli di seguito. Un modo potrebbe essere quello di posizionare i due rossi nella prima e nella seconda posizione e il resto delle palline nelle posizioni che rimangono..
Come nel caso precedente, potremmo dare alle palline rosse rispettivamente la prima e l'ultima posizione e occupare le altre con palline blu.
Ora un modo efficiente per contare in quanti modi possiamo disporre le palline in fila è usare i numeri combinatori. Possiamo vedere ogni posizione come un elemento del seguente insieme:
Quindi non resta che scegliere un sottoinsieme di due elementi, in cui ciascuno di questi elementi rappresenta la posizione che occuperanno le palline rosse. Possiamo fare questa scelta in base alla relazione data da:
In questo modo, abbiamo 21 modi per ordinare queste palline.
L'idea generale di questo esempio sarà molto utile per dimostrare il teorema binomiale. Vediamo un caso particolare: se n = 4, abbiamo (a + b)4, che non è altro che:
Quando sviluppiamo questo prodotto, ci resta la somma dei termini ottenuti moltiplicando un elemento di ciascuno dei quattro fattori (a + b). Quindi, avremo termini che avranno la forma:
Se volessimo ricavare il termine dal modulo a4, basta moltiplicare come segue:
Nota che c'è un solo modo per ottenere questo elemento; ma cosa succede se ora cerchiamo il termine della forma aDuebDue? Poiché "a" e "b" sono numeri reali e, quindi, la legge commutativa è valida, abbiamo che un modo per ottenere questo termine è moltiplicare per i membri come indicato dalle frecce.
L'esecuzione di tutte queste operazioni è solitamente un po 'noiosa, ma se vediamo il termine "a" come una combinazione in cui vogliamo sapere in quanti modi possiamo scegliere due "a" da un insieme di quattro fattori, possiamo usare l'idea dal esempio precedente. Quindi, abbiamo quanto segue:
Quindi, sappiamo che nell'espansione finale dell'espressione (a + b)4 avremo esattamente 6aDuebDue. Utilizzando la stessa idea per gli altri elementi, devi:
Quindi aggiungiamo le espressioni ottenute in precedenza e abbiamo che:
È una prova formale per il caso generale in cui "n" è un numero naturale.
Nota che i termini che rimangono durante lo sviluppo (a + b)n Hanno la forma aKbn-k, dove k = 0,1,…, n. Usando l'idea dell'esempio precedente, abbiamo il modo di scegliere "k" variabili "a" dei fattori "n" è:
Scegliendo in questo modo, scegliamo automaticamente n-k variabili "b". Da ciò ne consegue che:
Considerando (a + b)5, Quale sarebbe il tuo sviluppo?
Per il teorema binomiale abbiamo:
Il teorema binomiale è molto utile se abbiamo un'espressione in cui vogliamo sapere qual è il coefficiente di un termine specifico senza dover fare l'espansione completa. Come esempio possiamo prendere la seguente incognita: qual è il coefficiente di x7Y9 nell'espansione di (x + y)16?
Dal teorema binomiale, abbiamo che il coefficiente è:
Un altro esempio potrebbe essere: qual è il coefficiente di x5Y8 nello sviluppo di (3x-7y)13?
Per prima cosa riscriviamo l'espressione in modo conveniente; questo è:
Quindi, usando il teorema binomiale, abbiamo che il coefficiente cercato è quando abbiamo k = 5
Un altro esempio degli usi di questo teorema è nella dimostrazione di alcune identità comuni, come quelle che menzioneremo di seguito.
Se "n" è un numero naturale, abbiamo:
Per la dimostrazione usiamo il teorema binomiale, dove sia "a" che "b" assumono il valore di 1. Quindi abbiamo:
In questo modo abbiamo dimostrato la prima identità.
Se "n" è un numero naturale, allora
Per il teorema binomiale abbiamo:
Possiamo fare una dimostrazione diversa per il teorema binomiale usando il metodo induttivo e l'identità di Pascal, che ci dice che, se "n" e "k" sono numeri interi positivi che soddisfano n ≥ k, allora:
Per prima cosa vediamo che la base induttiva tiene. Se n = 1, abbiamo:
In effetti, vediamo che si è adempiuto. Ora, sia n = j tale che:
Vogliamo vedere che per n = j + 1 è vero che:
Quindi dobbiamo:
Per ipotesi sappiamo che:
Quindi, utilizzando la proprietà distributiva:
Successivamente, sviluppando ciascuna delle somme, abbiamo:
Ora, se raggruppiamo in modo conveniente, abbiamo che:
Usando l'identità di pascal, abbiamo:
Infine, nota che:
Quindi, vediamo che il teorema binomiale vale per tutti gli "n" appartenenti ai numeri naturali, e con questo la dimostrazione finisce.
Il numero combinatorio (nk) è anche chiamato coefficiente binomiale perché è proprio il coefficiente che compare nello sviluppo del binomio (a + b)n.
Isaac Newton ha dato una generalizzazione di questo teorema per il caso in cui l'esponente è un numero reale; questo teorema è noto come teorema binomiale di Newton.
Già nell'antichità questo risultato era noto per il caso particolare in cui n = 2. Questo caso è menzionato nel Elementi di Euclid.
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