Il solido di rivoluzione È la figura tridimensionale che viene generata ruotando una superficie piana attorno all'asse assiale o asse di rivoluzione. La figura 1 mostra un'animazione di un solido di rivoluzione generato in questo modo.
Un altro esempio molto facile da visualizzare consiste nel generare un cilindro circolare retto, ruotando un rettangolo di altezza o lunghezza he raggio r, attorno all'asse x positivo (figura 2). Per trovare il suo volume c'è una formula ben nota:
V = area della base x altezza
Altri solidi di rivoluzione sono la sfera, il cono circolare destro e varie figure, a seconda della superficie messa in rotazione e ovviamente dell'asse selezionato..
Ad esempio, ruotando il semicerchio attorno a una linea parallela al diametro si ottiene un solido di rivoluzione cava.
Per il cilindro, il cono, la sfera, sia piena che vuota, esistono formule per trovare il volume, che dipende dal raggio e dall'altezza. Ma quando sono generati da altre superfici, il volume viene calcolato da integrali definiti.
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I solidi di rivoluzione possono essere classificati in base alla curva che li genera:
Basta ruotare un semicerchio attorno ad un asse che sarà il diametro della sfera di raggio R. Il suo volume è:
Vsfera = (4/3) πR3
Per ottenere un cono di altezza H e raggio R, la superficie da ruotare è un triangolo rettangolo, attorno all'asse assiale che passa per una delle gambe. Il suo volume è:
Vcono = (1/3) πHRDue
Ruotando un rettangolo attorno ad un asse assiale passante per uno dei lati, che può essere il lato corto o il lato lungo, si ottiene un cilindro circolare retto di raggio R e altezza H, il cui volume è:
Vcilindro = πRDueH
Il toro ha la forma di una ciambella. Si ottiene ruotando una regione circolare attorno a una linea nel piano che non interseca il cerchio. Il suo volume è dato da:
Vtoro = 2πaDueR
Dove a è il raggio della sezione trasversale e R è il raggio del toro secondo lo schema presentato in figura:
Nel calcolo integrale questi due metodi sono frequenti:
-Dischi e rondelle
-Conchiglie
Quando si taglia un solido di rivoluzione, la sezione trasversale può essere un disco, se il solido è solido, oppure può essere una specie di rondella (un disco con un foro nel mezzo), se è un solido cavo..
Supponiamo che una regione planare venga ruotata attorno all'asse orizzontale. Da questa regione piatta prendiamo un piccolo rettangolo di larghezza Δx, che viene ruotato perpendicolarmente attorno all'asse assiale.
L'altezza del rettangolo è compresa tra la curva più esterna R (x) e la curva più interna r (x). Corrispondono rispettivamente al raggio esterno e al raggio interno..
Effettuando questa rotazione si genera una rondella di volume ΔV, data da:
ΔV = volume pieno - volume del foro (se presente)
Ricordando che il volume di un cilindro circolare destro è π. RadioDue x altezza, abbiamo:
ΔV = π [RDue(x) - rDue(x)] Δx
Il solido può essere suddiviso in una moltitudine di piccole porzioni di volume ΔV. Se li aggiungiamo tutti, avremo il volume pieno.
Per fare questo facciamo tendere a 0 il volume ΔV, con il quale anche Δx diventa molto piccolo, diventando un differenziale dx.
Quindi abbiamo un integrale:
V = ∫perb π [RDue(x) - rDue(x)] dx
Nel caso in cui il solido sia solido, allora la funzione r (x) = 0, la fetta di solido che viene generata è un disco e il volume rimane:
V = ∫perb πRDue(x) dx
Quando l'asse di rivoluzione è verticale, le equazioni precedenti assumono la forma:
V = ∫perb π [RDue (y) - rDue (y)] dy y V = ∫perb πRDue(y) dy
Come suggerisce il nome, questo metodo consiste nell'assumere che il solido sia costituito da strati di spessore differenziale. Lo strato è un tubo sottile che ha origine dalla rotazione di un rettangolo parallelo all'asse di rotazione.
Abbiamo le seguenti dimensioni:
-L'altezza del rettangolo w
-La sua longitudine h
-La distanza dal centro del rettangolo all'asse di rotazione p
Sapendo che il volume del livello è volume esterno - volume interno:
π (p + w / 2)Dueh - π (p - w / 2)Dueh
Sviluppando prodotti straordinari e semplificando, ottieni:
Volume dello strato = 2π⋅p⋅w⋅h
Ora facciamo l'altezza w del rettangolo Δy, come si vede nella figura seguente:
Con questo il volume ΔV è:
ΔV = 2π p x h x Δy
E facendo il numero di strati n è molto grande, Δy diventa un differenziale dy, con il quale il volume totale è l'integrale:
V = ∫cd 2π p (y) h (y) dy
La procedura descritta si applica in modo analogo quando l'asse di rivoluzione è verticale:
Trova il volume generato dalla rotazione della regione piana tra le curve:
y = xDue; y = 0; x = 2
Intorno all'asse y.
-La prima cosa che dobbiamo fare è rappresentare graficamente la regione che genererà il solido di rivoluzione e indicare l'asse di rotazione. Lo abbiamo nel grafico seguente:
-Ora stiamo cercando le intersezioni tra la curva y = xDue e la linea x = 2. Da parte sua, la linea y = 0 non è altro che l'asse x.
Dal grafico è facile vedere che la parabola e la retta si intersecano nel punto (2,4), che viene corroborato sostituendo x = 2 in y = xDue.
-Quindi viene scelto uno dei metodi per calcolare il volume, ad esempio il metodo dei livelli con asse di rivoluzione verticale:
V = ∫perb 2π p (x) h (x) dx
Importante: Nel metodo di stratificazione il lato lungo del rettangolo è parallelo all'asse di rotazione.
Il raggio dello strato è X
L'altezza del rettangolo è determinata dalla parabola xDue.
La variabile di integrazione è x, che varia tra 0 e 2, con questa abbiamo i limiti di integrazione. Sostituendo le espressioni per p (x) e h (x)
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