Il sistemi di ecuazione Sono costituiti da due o più equazioni con più variabili che devono avere una soluzione comune. Sono frequenti, perché in pratica sono numerose le situazioni che dipendono da tanti fattori, che si relazionano in vario modo.
In generale, un sistema di equazioni ha la seguente forma, dove ogni funzione rappresenta una delle condizioni che la soluzione deve soddisfare:
Facciamo un esempio: supponiamo di dover realizzare fogli di carta rettangolari la cui area è di 180 cmDue e che hanno un perimetro di 54 cm. Quali dovrebbero essere le dimensioni del foglio?
Per rispondere alla domanda teniamo conto che le dimensioni di un foglio rettangolare sono due: larghezza e altezza. Ciò significa che abbiamo 2 variabili a cui daremo i soliti nomi di X e Y.
E queste variabili devono soddisfare le due condizioni imposte contemporaneamente:
-Prima condizione: l'area del foglio è di 180 cmDue. Questa sarà la prima funzione: F1.
-Seconda condizione: il perimetro o contorno del telo deve essere di 54 cm. Questa è la seconda funzione FDue.
Per ogni condizione viene stabilita un'equazione utilizzando il linguaggio algebrico. L'area A di un foglio rettangolare si ottiene moltiplicando la larghezza per l'altezza:
A = x.y = 180 cmDue
E il perimetro P risulta dall'aggiunta dei lati. Poiché il perimetro è la somma dei lati:
P = 2x + 2y = 54 cm
Il sistema risultante di due equazioni e due incognite è:
xy = 180
2 (x + y) = 54
Abbiamo bisogno di due numeri il cui prodotto è 180 e il doppio prodotto della loro somma è 54, o che è lo stesso: sommati devono dare 27. Questi numeri sono 12 e 15.
Nella sezione degli esercizi risolti offriremo il metodo dettagliato per trovare questi valori, nel frattempo il lettore può facilmente verificare sostituendo, che soddisfano effettivamente entrambe le equazioni.
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La situazione proposta sopra contiene 2 variabili e per trovarle sono necessarie almeno 2 equazioni. Ci sono sistemi con molte più variabili, ma in ogni caso, se il sistema lo ha n di loro, richiede almeno n equazioni indipendenti l'una dall'altra (una non può essere una combinazione lineare delle altre) per trovare la soluzione, se esiste.
Quanto alle applicazioni, sono numerose. Eccone alcuni in cui i sistemi di equazioni dimostrano la loro utilità:
-Trovare le correnti che scorrono attraverso un circuito usando le leggi di Kirchoff.
-Nel trasporto terrestre e aereo per stabilire gli orari di partenza e di arrivo.
-Trova l'entità delle forze in sistemi dinamici o statici soggetti a interazioni multiple.
-Conoscere la quantità di articoli venduti durante un certo periodo di tempo, o nelle fabbriche, per determinare le dimensioni degli oggetti in modo che soddisfino determinate condizioni in termini di superficie o volume.
-Quando si determina come distribuire un capitale in vari investimenti.
-Stabilire le tariffe per vari servizi, ad esempio telecomunicazioni o spettacoli e conoscere l'ammontare di denaro raccolto (vedere l'esempio risolto 2)
-Viene scelta un'equazione e una delle variabili viene risolta.
-Quindi dobbiamo sostituire la variabile cancellata in un'altra equazione. Quindi questa variabile scompare da lì e se il sistema ha due equazioni e due incognite, rimane un'equazione con una variabile che può già essere risolta.
-Se il sistema ha più di due variabili, dobbiamo risolverne una terza sconosciuta da un'altra equazione e sostituirla.
Un esempio dell'applicazione di questo metodo è nell'esercizio risolto 1.
Questo metodo consiste nell'aggiungere o sottrarre equazioni per eliminare una o più variabili e lasciarne solo una. Per fare ciò, è conveniente moltiplicare le equazioni per un fattore tale che quando si aggiunge con un'altra equazione, l'ignoto scompare. Vediamo un esempio:
3xDue - YDue = 11
XDue + 4yDue = 8
Moltiplichiamo la prima equazione per 4:
12xDue - 4yDue = 44
XDue + 4yDue = 8
Aggiungendoli, l'ignoto scompare Y, rimanente:
13xDue = 52
XDue = 4
Pertanto x1 = 2 e xDue = -2. Con questi valori il lettore può verificare che e1 = 1 e yDue = -1
Quando il sistema è costituito da due equazioni con due incognite:
-Scegli uno sconosciuto e risolvi entrambe le equazioni.
-I risultati sono equalizzati, il che consente di ottenere una singola equazione con un unico sconosciuto.
-Questa equazione viene risolta e il risultato viene sostituito in uno dei giochi precedenti per ottenere il valore dell'altro sconosciuto..
Questo metodo verrà applicato nell'esercizio risolto 2 della sezione seguente.
Questo metodo consiste nel rappresentare graficamente le curve rappresentate da ciascuna equazione. Il punto di intersezione è la soluzione del sistema. L'esempio seguente mostra la soluzione grafica del sistema:
XDue + Y Due = 1
2x + 4y = 0
La prima delle equazioni è un cerchio di raggio 1 centrato all'origine e la seconda è una linea.
L'intersezione di entrambi sono i due punti mostrati in blu. Il lettore può verificare che sostituendo le coordinate dei punti nelle equazioni di cui sopra, si ottiene un'uguaglianza.
È necessario creare fogli di carta rettangolari con un'area di 180 cmDue e con un perimetro di 54 cm. Quali dovrebbero essere le dimensioni del foglio?
Il sistema da risolvere è:
xy = 180
2 (x + y) = 54
La seconda equazione può essere semplificata ax + y = 27, quindi:
xy = 180
x + y = 27
Risolvi per una delle incognite nella seconda equazione:
y = 27 - x
Il gioco è sostituito nel primo:
(27 -x) = 180
Applicazione della proprietà distributiva:
-XDue + 27x = 180
Moltiplicando per (-1) su entrambi i lati dell'equazione e inviando 180 a sinistra:
XDue - 27x +180 = 0
Il risultato è un'equazione di secondo grado in x, che viene risolta dalla formula:
Con a = 1, b = -27 ec = 180
Un parco di divertimenti ha i seguenti biglietti d'ingresso: bambini $ 1,5 e adulti $ 4. In un giorno ci sono stati 2.200 visitatori, raccogliendo $ 5050. Trova il numero di bambini e adulti che hanno visitato il parco quel giorno.
Essere X il numero di bambini e Y il numero di adulti. Possiamo stabilire la prima delle equazioni sapendo che la somma di entrambe deve essere 2200:
x + y = 2200.
Adesso andiamo con i soldi raccolti. Il prezzo del biglietto bambini è di $ 1,5 per ogni bambino, moltiplicando questo valore per x, il numero di bambini, avremo l'importo per il biglietto bambini:
1,5x = denaro raccolto per i biglietti per bambini
E se moltiplichiamo $ 4 per adulto per il numero e il numero di visitatori adulti, otteniamo il denaro totale per tutti gli adulti:
4y = denaro raccolto con biglietti per adulti
Aggiungiamo questo insieme per ottenere $ 5050:
1,5x + 4y = 5050
Il nostro sistema di equazioni è:
x + y = 2200
1,5x + 4y = 5050
Risolviamolo per equalizzazione. Isoliamo la variabile y dalla prima e dalla seconda equazione:
y = 2200 - x
y = (5050 - 1,5 x) / 4
Abbiniamo entrambe le espressioni:
2200 - x = (5050 - 1.5x) / 4
Moltiplichiamo tutto per 4 per eliminare la frazione:
8800 - 4x = 5050 - 1,5x
Raggruppiamo i termini con x a sinistra e numeri puri a destra:
-4x + 1,5x = 5050-8800
-2,5x = -3750
x = 1500 bambini.
Sostituiamo questo valore in y = 2200 - x per trovare il numero di adulti:
y = 2200-1500 = 700 adulti.
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