Il vettori complanari o complanari sono quelli contenuti sullo stesso piano. Quando ci sono solo due vettori, sono sempre complanari, poiché ci sono infiniti piani è sempre possibile sceglierne uno che li contenga.
Se hai tre o più vettori, è possibile che alcuni di essi non siano sullo stesso piano degli altri, quindi non potrebbero essere considerati complanari. La figura seguente mostra un insieme di vettori complanari indicati in grassetto PER, B, C Y D:
I vettori sono legati al comportamento e alle proprietà di grandezze fisiche rilevanti nella scienza e nell'ingegneria; per esempio velocità, accelerazione e forza.
Una forza produce effetti diversi su un oggetto quando il modo in cui viene applicata viene variata, ad esempio cambiando intensità, direzione e direzione. Anche cambiando solo uno di questi parametri, i risultati sono notevolmente diversi..
In molte applicazioni, sia statiche che dinamiche, le forze che agiscono su un corpo sono sullo stesso piano, quindi sono considerate complanari.
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Affinché tre vettori siano complanari, devono giacere sullo stesso piano e ciò accade se soddisfano una delle seguenti condizioni:
-I vettori sono paralleli, quindi le loro componenti sono proporzionali e linearmente dipendenti.
-Il tuo prodotto misto è nullo.
-Se hai tre vettori e uno qualsiasi di essi può essere scritto come una combinazione lineare degli altri due, questi vettori sono complanari. Ad esempio, un vettore che risulta dalla somma di altri due, i tre sono tutti sullo stesso piano.
In alternativa, la condizione di complanarità può essere stabilita come segue:
U V w sono complanari se ci sono tre numeri (scalari) α, β, γ tali che αo + βv + γw = 0 con (α, β, γ) diverso da (0, 0, 0)
Il prodotto misto tra i vettori è definito da tre vettori o, v Y w, risultante in uno scalare che risulta dall'esecuzione della seguente operazione:
o · (v X w) = o · (v X w)
Innanzitutto, viene eseguito il prodotto incrociato tra parentesi: v X w, il cui risultato è un vettore normale (perpendicolare) al piano in cui entrambi v Che cosa w.
sì o è sullo stesso piano di v Y w, naturalmente il prodotto scalare (prodotto puntuale) tra ue detto vettore normale deve essere 0. In questo modo si verifica che i tre vettori siano complanari (giacciono sullo stesso piano).
Quando il prodotto miscelato è diverso da zero, il suo risultato è uguale al volume del parallelepipedo che ha i vettori o, v Y w come lati adiacenti.
I punti di forza concorrente sono tutti applicati allo stesso punto. Se sono anche complanari, possono essere sostituiti da uno solo, che si chiama forza risultante e ha lo stesso effetto delle forze originali.
Se un corpo è in equilibrio grazie a tre forze complanari, concorrenti e non collineari (non parallele), chiamate PER, B Y C, il Teorema di Lamy sottolinea che la relazione tra queste forze (magnitudini) è la seguente:
A / sin α = B / sin β = C / sin γ
Con α, β e γ come angoli opposti alle forze applicate, come mostrato nella figura seguente:
Trova il valore di k in modo che i seguenti vettori siano complanari:
o = <-3, k, 2>
v = <4, 1, 0>
w = <-1, 2, -1>
Poiché abbiamo le componenti dei vettori, viene utilizzato il criterio del prodotto misto, quindi:
o · (v X w) = 0
Viene risolto per primo v X w. I vettori saranno espressi in termini di vettori unitari io, j Y K che distinguono le tre direzioni perpendicolari nello spazio (larghezza, altezza e profondità):
v= 4 io + j + 0 K
w= -1 io + Duej -1 K
v X w = -4 (i x i) + 8 (io x j) - 4 (io x k) - (j x i) + Due (j x j) - Due (j x k) = 8 K + 4 j + k -Due io = -Due io + 4 j + 9 K
Consideriamo ora il prodotto scalare tra ue il vettore risultante dall'operazione precedente, ponendo l'operazione uguale a 0:
o (v X w) = (-3 io + K j + Due K) · (-Due io + 4 j + 9 K) = 6 + 4k +18 = 0
24 + 4k = 0
Il valore cercato è: k = - 6
Quindi il vettore o è:
o = <-3, -6, 2>
La figura mostra un oggetto il cui peso è W = 600 N, sospeso in equilibrio grazie ai cavi posti agli angoli indicati in figura 3. È possibile applicare il teorema di Lamy in questa situazione? In ogni caso trova le magnitudini di T1, TDue Y T3 che rendono possibile l'equilibrio.
Il teorema di Lamy è applicabile in questa situazione se si considera il nodo su cui vengono applicate le tre tensioni, poiché costituiscono un sistema di forze complanari. Innanzitutto, viene creato il diagramma a corpo libero per il peso sospeso, al fine di determinare l'entità di T3:
Dalla condizione di equilibrio segue che:
T3 = W = 600 N
Gli angoli tra le forze sono segnati in rosso nella figura seguente, si può facilmente verificare che la loro somma sia di 360º. Ora è possibile applicare il teorema di Lamy, poiché una delle forze e i tre angoli tra di loro sono noti:
T1 / sin 127º = W / sin 106º
Quindi: T1 = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N
Anche in questo caso, il teorema di Lamy viene applicato per risolvere TDue:
TDue / sin 127 = T1 / sin 127º
TDue = T1 = 498,5 N
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