Il prodotto incrociato o prodotto vettoriale è un modo per moltiplicare due o più vettori. Ci sono tre modi per moltiplicare i vettori, ma nessuno di questi è moltiplicazione nel senso usuale della parola. Una di queste forme è nota come prodotto vettoriale, che ci dà come risultato un terzo vettore.
Il prodotto incrociato, chiamato anche prodotto incrociato o prodotto esterno, ha diverse proprietà algebriche e geometriche. Queste proprietà sono molto utili, soprattutto nello studio della fisica..
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Una definizione formale del prodotto vettoriale è la seguente: se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) sono vettori, allora il prodotto vettoriale di A e B, che indicheremo come AxB, è:
AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
A causa della notazione AxB, viene letto come "A croce B".
Un esempio di come utilizzare il prodotto esterno è che se A = (1, 2, 3) e B = (3, -2, 4) sono vettori, allora usando la definizione di un prodotto vettoriale abbiamo:
AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)
AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).
Un altro modo per esprimere il prodotto vettoriale è dato dalla notazione dei determinanti.
Il calcolo di un determinante del secondo ordine è dato da:
Pertanto, la formula per il prodotto incrociato fornita nella definizione può essere riscritta come segue:
Questo di solito è semplificato in un determinante del terzo ordine come segue:
Dove i, j, k rappresentano i vettori che formano la base di R3.
Usando questo modo di esprimere il prodotto incrociato, abbiamo che l'esempio precedente può essere riscritto come:
Alcune proprietà che il prodotto vettore possiede sono le seguenti:
Se A è un vettore qualsiasi in R3, dobbiamo:
- AxA = 0
- Ax0 = 0
- 0xA = 0
Queste proprietà sono facili da controllare usando solo la definizione. Se A = (a1, a2, a3) abbiamo:
AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.
Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.
Se i, j, k rappresentano la base unitaria di R3, possiamo scriverli come segue:
i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
Quindi, abbiamo che le seguenti proprietà sono vere:
Come regola mnemonica, il seguente cerchio viene spesso utilizzato per ricordare queste proprietà:
Lì dobbiamo notare che qualsiasi vettore con se stesso dà come risultato il vettore 0 e il resto dei prodotti può essere ottenuto con la seguente regola:
Il prodotto incrociato di due vettori consecutivi in senso orario dà il vettore successivo; e quando si considera il senso antiorario, il risultato è il seguente vettore con segno negativo.
Grazie a queste proprietà possiamo vedere che il prodotto vettoriale non è commutativo; per esempio, nota solo che i x j ≠ j x i. La seguente proprietà ci dice come AxB e BxA sono correlati in generale.
Se A e B sono vettori di R3, dobbiamo:
AxB = - (BxA).
Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), per definizione di prodotto esterno abbiamo:
AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)
= (- 1) (BxA).
Possiamo anche vedere che questo prodotto non è associativo con il seguente esempio:
ix (ixj) = ixk = - j ma (ixi) xj = 0xj = 0
Da questo possiamo vedere che:
ix (ixj) ≠ (ixi) xj
Se A, B, C sono vettori di R3 e r è un numero reale, è vero quanto segue:
- Ax (B + C) = AxB + AxC
- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)
Grazie a queste proprietà possiamo calcolare il prodotto vettoriale utilizzando le leggi dell'algebra, a patto che l'ordine sia rispettato. Per esempio:
Se A = (1, 2, 3) e B = (3, -2, 4), possiamo riscriverli sulla base canonica di R3.
Quindi, A = i + 2j + 3k e B = 3i - 2j + 4k. Quindi, applicando le proprietà precedenti:
AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)
= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)
= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)
= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k
= (14, 5, - 8).
Come accennato all'inizio, ci sono altri modi per moltiplicare i vettori oltre al prodotto vettoriale. Uno di questi modi è il prodotto scalare o prodotto interno, che è indicato come A ∙ B e la cui definizione è:
Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), allora A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3
La proprietà che mette in relazione entrambi i prodotti è nota come prodotto triplo scalare.
Se A, B e C sono vettori di R3, allora A ∙ BxC = AxB ∙ C
Ad esempio, vediamo che, dato A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) e C = (- 5, 1, - 4), questa proprietà è soddisfatta.
BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k
A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74
D'altro canto:
AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k
AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74
Un altro prodotto triplo è Ax (BxC), noto come prodotto triplo vettore..
Se A, B e C sono vettori di R3, poi:
Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C
Ad esempio, vediamo che, dato A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) e C = (- 5, 1, - 4), questa proprietà è soddisfatta.
Dall'esempio precedente sappiamo che BxC = (- 18, - 22, 17). Calcoliamo Ax (BxC):
Ascia (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k
D'altra parte, dobbiamo:
A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4
A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3
Quindi, dobbiamo:
(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)
È una delle proprietà geometriche dei vettori. Se A e B sono due vettori in R3 e ϴ è l'angolo formato tra questi, quindi:
|| AxB || = || A |||| B || sin (ϴ), dove || ∙ || denota il modulo o l'ampiezza di un vettore.
L'interpretazione geometrica di questa proprietà è la seguente:
Siano A = PR e B = PQ. Quindi, l'angolo formato dai vettori A e B è l'angolo P del triangolo RQP, come mostrato nella figura seguente.
Pertanto, l'area del parallelogramma che ha PR e PQ come lati adiacenti è || A |||| B || sin (ϴ), poiché possiamo prendere come base || A || e la sua altezza è data da || B || sin (ϴ).
Con questo, possiamo concludere che || AxB || è l'area di detto parallelogramma.
Dati i seguenti vertici di un quadrilatero P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) e S (5,7, -3), mostra che detto quadrilatero è un parallelogramma e trova la sua area.
Per questo determiniamo prima i vettori che determinano la direzione dei lati del quadrilatero. Questo è:
A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)
B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)
C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)
D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)
Come possiamo vedere, A e C hanno lo stesso vettore direttore, quindi abbiamo che entrambi sono paralleli; lo stesso accade con B e D. Pertanto, concludiamo che PQRS è un parallelogramma.
Per avere l'area di questo parallelogramma, calcoliamo BxA:
BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)
= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i
= - 6i - 2j - 7k.
Pertanto, l'area al quadrato sarà:
|| BxA ||Due = (- 6)Due + (- Due)Due + (- 7)Due = 36 + 4 + 49 = 89.
Si può concludere che l'area del parallelogramma sarà la radice quadrata di 89.
Due vettori A e B sono paralleli in R3 se e solo se AxB = 0
È chiaro che se A o B sono il vettore nullo, è soddisfatto che AxB = 0. Poiché il vettore zero è parallelo a qualsiasi altro vettore, la proprietà è valida.
Se nessuno dei due vettori è il vettore zero, abbiamo che le loro magnitudini sono diverse da zero; cioè, entrambi || A || ≠ 0 come || B || ≠ 0, quindi avremo || AxB || = 0 se e solo se sin (ϴ) = 0, e questo accade se e solo se ϴ = π o ϴ = 0.
Possiamo quindi concludere AxB = 0 se e solo se ϴ = π o ϴ = 0, il che accade solo quando entrambi i vettori sono paralleli tra loro.
Se A e B sono due vettori in R3, allora AxB è perpendicolare ad A e B.
Per questa dimostrazione, ricordiamo che due vettori sono perpendicolari se A ∙ B è uguale a zero. Inoltre sappiamo che:
A ∙ AxB = AxA ∙ B, ma AxA è uguale a 0. Pertanto, abbiamo:
A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.
Con ciò possiamo concludere che A e AxB sono perpendicolari tra loro. Allo stesso modo, dobbiamo:
AxB ∙ B = A ∙ BxB.
Poiché BxB = 0, abbiamo:
AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.
Pertanto, AxB e B sono perpendicolari tra loro e con questo viene dimostrata la proprietà. Questo è molto utile, poiché ci permette di determinare l'equazione di un piano.
Ottieni un'equazione del piano che passa per i punti P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) e R (2, 1, 3).
Siano A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) e B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Quindi A = - i + 3j + k e B = i - 2j + k. Per trovare il piano formato da questi tre punti, è sufficiente trovare un vettore normale al piano, che è AxB.
AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.
Con questo vettore, e prendendo il punto P (1, 3, 2), possiamo determinare l'equazione del piano come segue:
(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0
Quindi, abbiamo che l'equazione del piano è 5x + 2y - z - 9 = 0.
Trova l'equazione del piano che contiene il punto P (4, 0, - 2) e che è perpendicolare a ciascuno dei piani x - y + z = 0 e 2x + y - 4z - 5 = 0 .
Sapendo che un vettore normale a un piano ax + by + cz + d = 0 è (a, b, c), abbiamo che (1, -1,1) è un vettore normale di x - y + z = 0 y (2,1, - 4) è un vettore normale di 2x + y - 4z - 5 = 0.
Quindi un vettore normale al piano cercato deve essere perpendicolare a (1, -1,1) e a (2, 1, - 4). Detto vettore è:
(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.
Quindi, abbiamo che il piano cercato è quello che contiene il punto P (4,0, - 2) e ha il vettore (3,6,3) come vettore normale.
3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0
x + 2y + z - 2 = 0.
Un'applicazione che ha il prodotto triplo scalare è quella di poter calcolare il volume di un parallelepipedo i cui bordi sono dati dai vettori A, B e C, come mostrato in figura:
Possiamo dedurre questa applicazione nel modo seguente: come abbiamo detto prima, il vettore AxB è un vettore normale al piano di A e B. Abbiamo anche che il vettore - (AxB) è un altro vettore normale a detto piano.
Scegliamo il vettore normale che forma l'angolo più piccolo con il vettore C; senza perdita di generalità, sia AxB il vettore il cui angolo con C è il più piccolo.
Abbiamo che sia AxB che C hanno lo stesso punto di partenza. Inoltre, sappiamo che l'area del parallelogramma che forma la base del parallelepipedo è || AxB ||. Quindi, se l'altezza del parallelepipedo è data da h, abbiamo che il suo volume sarà:
V = || AxB || h.
Consideriamo invece il prodotto scalare tra AxB e C, che può essere descritto come segue:
Tuttavia, per proprietà trigonometriche abbiamo che h = || C || cos (ϴ), quindi abbiamo:
In questo modo, abbiamo che:
In termini generali, abbiamo che il volume di un parallelepipedo è dato dal valore assoluto del prodotto triplo scalare AxB ∙ C.
Dati i punti P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) e S = (2, 6, 9), questi punti formano un parallelepipedo i cui bordi sono PQ, PR e PS. Determinare il volume di detto parallelepipedo.
Se prendiamo:
- A = PQ = (-1, 6, 1)
- B = PR = (-4, 4, 2)
- C = PS = (-3, 2, 2)
Utilizzando la proprietà del prodotto triplo scalare, abbiamo:
AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).
AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24-4 +80 = 52.
Abbiamo quindi che il volume di detto parallelepipedo è 52.
Determina il volume di un parallelepipedo i cui bordi sono dati da A = PQ, B = PR e C = PS, dove i punti P, Q, R e S sono (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) e (2, 2, 5), rispettivamente.
Per prima cosa abbiamo che A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).
Calcoliamo AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).
Quindi calcoliamo AxB ∙ C:
AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5-6 = 1.
Concludiamo quindi che il volume di detto parallelepipedo è di 1 unità cubica.
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