Il permutazioni circolari sono diversi tipi di raggruppamenti di tutti gli elementi di un insieme, quando questi devono essere disposti in cerchio. In questo tipo di permutazione l'ordine è importante e gli elementi non vengono ripetuti.
Ad esempio, supponi di voler conoscere il numero di matrici distinte delle cifre da uno a quattro, posizionando ogni numero in uno dei vertici di un rombo. Questi sarebbero 6 arrangiamenti in totale:
Non deve essere confuso che il numero uno è nella posizione superiore del rombo in tutti i casi come posizione fissa. Le permutazioni circolari non vengono modificate dalla rotazione della matrice. Le seguenti sono una singola o la stessa permutazione:
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Nell'esempio dei diversi array circolari a 4 cifre situati ai vertici di un rombo, il numero di array (6) può essere trovato in questo modo:
1- Una qualsiasi delle quattro cifre viene presa come punto di partenza in uno qualsiasi dei vertici e avanza al vertice successivo. (non importa se viene ruotato in senso orario o antiorario)
2- Ci sono 3 opzioni rimaste per selezionare il secondo vertice, poi ci sono 2 opzioni per selezionare il terzo vertice e, ovviamente, c'è solo un'opzione di selezione rimasta per il quarto vertice.
3- Pertanto, il numero di permutazioni circolari, indicato con (4 - 1) P (4 - 1), è ottenuto dal prodotto delle opzioni di selezione in ciascuna posizione:
(4-1) P (4-1) = 3 * 2 * 1 = 6 diverse matrici circolari a 4 cifre.
In generale, il numero di permutazioni circolari ottenibili con tutti gli n elementi di un insieme è:
(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (N - 1) (n - 2)… (2) (1)
Nota che (n - 1)! è noto come n fattoriale e abbrevia il prodotto di tutti i numeri dal numero (n - 1) al numero uno, entrambi inclusi.
In quanti modi diversi hanno 6 persone per sedersi a un tavolo circolare??
Vuoi trovare il numero di modi diversi in cui 6 persone possono sedersi attorno a una tavola rotonda.
N ° modi per sedersi = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!
Numero di modi per sedersi = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 modi diversi
In quanti modi diversi hanno 5 persone per posizionarsi ai vertici di un pentagono??
Viene ricercato il numero di modi in cui 5 persone possono essere posizionate in ciascuno dei vertici di un pentagono.
N ° modi per localizzarsi = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!
N ° vie da individuare = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 vie diverse
Un gioielliere acquista 12 diverse pietre preziose per metterle nei punti delle ore di un orologio che sta preparando per conto della casa reale di un paese europeo.
a) In quanti modi diversi ha per disporre le pietre sull'orologio?
b) Quante forme diverse ha se la pietra che va a ore 12 è unica?
c) Quante forme diverse se la pietra a ore 12 è unica e le pietre degli altri tre punti cardinali, a ore 3, 6 e 9; ci sono tre pietre particolari, che possono essere scambiate, e il resto delle ore viene assegnato dal resto delle pietre?
a) Viene richiesto il numero di modi per ordinare tutte le pietre sulla circonferenza dell'orologio; cioè il numero di disposizioni circolari che coinvolgono tutte le pietre disponibili.
Numero di arrangiamenti nell'orologio = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Numero di correzioni sull'orologio = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Numero di disposizioni sull'orologio = 39976800 forme diverse
b) Si chiede quanti modi diversi di ordinare esistano, sapendo che la pietra della maniglia delle ore 12 è unica e fissa; cioè il numero di disposizioni circolari che coinvolgono le restanti 11 pietre.
Numero di arrangiamenti nell'orologio = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Numero di correzioni sull'orologio = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Numero di disposizioni sull'orologio = 3.628.800 forme diverse
c) Infine, si cerca il numero di modi per ordinare tutte le pietre tranne la pietra delle 12 che è fissa, le pietre 3, 6 e 9 che hanno 3 pietre da assegnare tra loro; cioè 3! possibilità di disposizione e il numero di disposizioni circolari che coinvolgono le restanti 8 pietre.
Numero di arrangiamenti nell'orologio = 3! * [(8-1) P (8-1)] = 3! * (8-1)!
Numero di arrangiamenti nell'orologio = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Numero di disposizioni sull'orologio = 241920 forme diverse
Il comitato direttivo di un'azienda è composto da 8 membri e si riuniscono a un tavolo ovale.
a) Quante diverse forme di disposizione attorno al tavolo ha il comitato??
b) Supponiamo che il presidente sieda a capotavola in qualsiasi disposizione del comitato, quante diverse forme di disposizione ha il resto del comitato??
c) Supponiamo che il vicepresidente e il segretario siedano ai lati del presidente in qualsiasi disposizione del comitato.?
a) Vogliamo trovare il numero di modi diversi per ordinare i 12 membri del comitato attorno al tavolo ovale.
N ° di accordi del comitato = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
N ° di accordi di comitato = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
N ° di disposizioni del comitato = 39976800 forme diverse
b) Poiché il presidente del comitato si trova in una posizione fissa, viene cercato il numero di modi per ordinare i restanti 11 membri del comitato attorno al tavolo ovale.
N ° di accordi di comitato = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Numero di accordi di comitato = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
N ° di accordi di comitato = 3.628.800 forme diverse
c) Il presidente si trova in posizione fissa e ai lati si trovano il vice presidente e il segretario con due possibilità di disposizione: vice presidente a destra e segretario a sinistra o vice presidente a sinistra e segretario a destra. Quindi vuoi trovare il numero di modi diversi per ordinare i 9 membri rimanenti del comitato attorno al tavolo ovale e moltiplicare per le 2 forme di accordi che hanno il vicepresidente e il segretario..
N ° di accordi di comitato = 2 * [(9-1) P (9-1)] = 2 * [(9-1)!]
N ° di accordi di comitato = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
N ° di accordi di comitato = 80640 forme diverse
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