UN paraboloide iperbolico è una superficie la cui equazione generale in coordinate cartesiane (x, y, z) soddisfa la seguente equazione:
(per)Due - (e B)Due - z = 0.
Il nome "paraboloide" deriva dal fatto che la variabile z dipende dai quadrati delle variabili x e y. Mentre l'aggettivo "iperbolico" è dovuto al fatto che a valori fissi di z abbiamo l'equazione di un'iperbole. La forma di questa superficie è simile a quella di una sella di cavallo.
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Per comprendere la natura del paraboloide iperbolico, verrà effettuata la seguente analisi:
1.- Prenderemo il caso particolare a = 1, b = 1, cioè l'equazione cartesiana del paraboloide rimane come z = xDue - YDue.
2.- Si considerano piani paralleli al piano ZX, cioè y = ctte.
3.- Con y = ctte rimane z = xDue - C, che rappresentano le parabole con rami in alto e vertice sotto il piano XY.
4.- Con x = ctte rimane z = C - yDue, che rappresentano parabole con rami in basso e vertice sopra il piano XY.
5.- Con z = ctte rimane C = xDue - YDue, che rappresentano gli iperboli nei piani paralleli al piano XY. Quando C = 0 ci sono due linee (a + 45º e -45º rispetto all'asse X) che si intersecano all'origine sul piano XY.
1.- Quattro diversi punti nello spazio tridimensionale definiscono uno e un solo paraboloide iperbolico.
2.- Il paraboloide iperbolico è a superficie doppiamente rigata. Ciò significa che nonostante sia una superficie curva, due linee differenti passano per ogni punto di un paraboloide iperbolico che appartiene totalmente al paraboloide iperbolico. L'altra superficie che non è un piano ed è doppiamente governata è la iperboloide della rivoluzione.
È proprio la seconda proprietà del paraboloide iperbolico che ne ha permesso il largo utilizzo in architettura poiché la superficie può essere generata da travi o funi dritte..
La seconda proprietà del paraboloide iperbolico ne consente una definizione alternativa: è la superficie che può essere generata da una linea retta in movimento parallela ad un piano fisso e taglia due linee fisse che fungono da guida. La figura seguente chiarisce questa definizione alternativa del paraboloide iperbolico:
Mostra che l'equazione: z = xy, corrisponde a un paraboloide iperbolico.
Verrà applicata una trasformazione alle variabili xey corrispondenti ad una rotazione degli assi cartesiani rispetto all'asse Z di + 45º. Le vecchie coordinate xey vengono trasformate nelle nuove x 'e y' in base alle seguenti relazioni:
x = x '- y'
y = x '+ y'
mentre la coordinata z rimane la stessa, ovvero z = z '.
Sostituendo nell'equazione z = x e abbiamo:
z '= (x' - y ') (x' + y ')
Applicando il prodotto notevole della differenza per la somma uguale alla differenza dei quadrati, abbiamo:
z '= x'Due - Y 'Due
che corrisponde chiaramente alla definizione data inizialmente di paraboloide iperbolico.
L'intercettazione dei piani paralleli all'asse XY con il paraboloide iperbolico z = x e si determinano iperboli equilateri che hanno come asintoti i piani x = 0 e y = 0.
Determina i parametri per Y b del paraboloide iperbolico che passa per i punti A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) e D (2, -1, 32/9).
Secondo le sue proprietà, quattro punti nello spazio tridimensionale determinano un singolo paraboloide iperbolico. L'equazione generale è:
z = (x / a)Due - (e B)Due
Sostituiamo i valori dati:
Per il punto A abbiamo 0 = (0 / a)Due - (0 / b)Due, equazione che è soddisfatta qualunque siano i valori dei parametri a e b.
Sostituendo il punto B, si ottiene:
5/9 = 1 / aDue - 1 BDue
Mentre per il punto C resta:
32/9 = 4 / aDue - 1 BDue
Infine, per il punto D otteniamo:
32/9 = 4 / aDue - 1 BDue
Che è identico all'equazione precedente. In definitiva, il sistema di equazioni deve essere risolto:
5/9 = 1 / aDue - 1 BDue
32/9 = 4 / aDue - 1 BDue
Sottraendo la seconda equazione dalla prima si ottiene:
27/9 = 3 / aDue il che implica che aDue = 1.
Allo stesso modo, la seconda equazione viene sottratta dalla quadrupla della prima, ottenendo:
(32-20) / 9 = 4 / aDue - 4 / aDue -1 BDue + 4 / bDue
Che è semplificato come:
12/9 = 3 / bDue ⇒ bDue = 9/4.
In breve, il paraboloide iperbolico che passa per i punti dati A, B, C e D ha un'equazione cartesiana data da:
z = xDue - (4/9) eDue
Secondo le proprietà del paraboloide iperbolico, due linee passano per ogni punto che sono completamente contenute in esso. Per il caso z = x ^ 2 - y ^ 2 trovare l'equazione delle due rette che passano per il punto P (0, 1, -1) chiaramente appartenente al paraboloide iperbolico, tale che appartengano anche tutti i punti di queste rette allo stesso.
Usando il notevole prodotto della differenza dei quadrati l'equazione per il paraboloide iperbolico può essere scritta così:
(x + y) (x - y) = c z (1 / c)
Dove c è una costante diversa da zero.
L'equazione x + y = cz e l'equazione x - y = 1 / c corrispondono a due piani con vettori normali n=<1,1,-c> Y m=<1,-1,0>. Il prodotto vettoriale m x n =<-c, -c, -2> ci dà la direzione della linea di intersezione dei due piani. Quindi una delle rette che passa per il punto P e appartiene al paraboloide iperbolico ha un'equazione parametrica:
Per determinare c sostituiamo il punto P nell'equazione x + y = c z, ottenendo:
c = -1
In modo simile, ma considerando le equazioni (x - y = k z) e (x + y = 1 / k) abbiamo l'equazione parametrica della retta:
In sintesi, le due righe:
Sono completamente contenuti nel paraboloide iperbolico z = xDue - YDue passando per il punto (0, 1, -1).
Per controllare, supponiamo che t = 1 che ci dia il punto (1,2, -3) sulla prima riga. Devi controllare se è anche sul paraboloide z = xDue - YDue:
-3 = 1Due - DueDue = 1 - 4 = -3
Il che conferma che effettivamente appartiene alla superficie del paraboloide iperbolico.
Il paraboloide iperbolico è stato utilizzato in architettura dai grandi architetti d'avanguardia, tra i quali spiccano i nomi dell'architetto spagnolo Antoni Gaudí (1852-1926) e in particolar modo anche lo spagnolo Félix Candela (1910-1997)..
Di seguito sono riportati alcuni lavori basati sul paraboloide iperbolico:
-Cappella della città di Cuernavaca (Messico) opera dell'architetto Félix Candela.
-L'Oceanografico di Valencia (Spagna), sempre di Félix Candela.
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