Il numeri trascendenti sono quelli che non possono essere ottenuti come risultato di un'equazione polinomiale. L'opposto di un numero trascendente è a numero algebrico, che sono soluzioni di un'equazione polinomiale del tipo:
pern Xn + pern-1 Xn-1 +... + ADue XDue + per1 x + a0 = 0
Dove i coefficienti an, pern-1,… perDue, per1, per0 sono numeri razionali, chiamati coefficienti del polinomio. Se un numero x è una soluzione all'equazione precedente, allora quel numero non è trascendente.
Analizzeremo alcuni numeri e vedremo se sono trascendenti o meno:
a) 3 non è trascendente perché è una soluzione di x - 3 = 0.
b) -2 non può essere trascendente perché è una soluzione di x + 2 = 0.
c) ⅓ è una soluzione di 3x - 1 = 0
d) Una soluzione dell'equazione xDue - 2x + 1 = 0 è √2 -1, quindi quel numero per definizione non è trascendente.
e) Nessuno dei due è √2 perché è il risultato dell'equazione xDue - 2 = 0. Il quadrato √2 dà il risultato 2, che sottratto da 2 è uguale a zero. Quindi √2 è un numero irrazionale ma non è trascendente.
Indice articolo
Il problema è che non esiste una regola generale per ottenerli (più avanti diremo un modo), ma alcuni dei più famosi sono il numero pi e il Numero Neper, indicato rispettivamente da: π Y e.
Il numero π Appare naturalmente osservando che il quoziente matematico tra il perimetro P di un cerchio e il suo diametro D, indipendentemente dal fatto che si tratti di un cerchio piccolo o grande, dà sempre lo stesso numero, chiamato pi:
π = P / D ≈ 3,14159 ...
Ciò significa che se si prende come unità di misura il diametro della circonferenza, per tutte, grandi o piccole, il perimetro sarà sempre P = 3.14… = π, come si può vedere nell'animazione della figura 2.
Per determinare più decimali, è necessario misurare P e D con maggiore precisione e quindi calcolare il quoziente, che è stato fatto matematicamente. La linea di fondo è che i decimali del quoziente non hanno fine e non si ripetono mai, quindi il numero π oltre ad essere trascendente, lo è anche irrazionale.
Un numero irrazionale è un numero che non può essere espresso come divisione di due numeri interi.
È noto che ogni numero trascendente è irrazionale, ma non è vero che tutti i numeri irrazionali sono trascendenti. Ad esempio √2 è irrazionale, ma non è trascendente.
Il numero trascendente e è la base dei logaritmi naturali e la sua approssimazione decimale è:
e ≈ 2,718281828459045235360… .
Se volessi scrivere il numero e esattamente, sarebbe necessario scrivere decimali infiniti, perché ogni numero trascendente è irrazionale, come detto prima.
Le prime dieci cifre di e sono facili da ricordare:
2,7 1828 1828 e sebbene sembri seguire uno schema ripetitivo, ciò non si ottiene in decimali di ordine maggiore di nove.
Una definizione più formale di e è il prossimo:
Il che significa che il valore esatto di e si ottiene eseguendo l'operazione indicata in questa formula, quando il numero naturale n tende all'infinito.
Questo spiega perché possiamo ottenere solo approssimazioni di e, poiché non importa quanto grande sia il numero n, sarà sempre possibile trovare a n più alto.
Cerchiamo da soli alcune approssimazioni:
-Quando n = 100 allora (1 + 1/100)100 = 2.70481 che difficilmente coincide nel primo decimale con il valore “vero” di e.
-Se scegli n = 10.000 hai (1 + 1 / 10.000)10.000 = 2,71815 che corrisponde al valore "esatto" di e nelle prime tre cifre decimali.
Questo processo dovrebbe essere seguito all'infinito per ottenere il valore "vero" di e. Non credo che abbiamo tempo per farlo, ma proviamone un altro:
Usiamo n = 100.000:
(1 + 1 / 100.000)100.000 = 2,7182682372
Questo ha solo quattro cifre decimali che corrispondono al valore considerato esatto.
L'importante è capire che maggiore è il valore di n scelto per calcolare en, più si avvicina al valore reale. Ma quel valore vero si avrà solo quando n è infinito.
Altri numeri importanti
Oltre a questi numeri famosi ci sono altri numeri trascendenti, ad esempio:
- Due√2
Ogni numero algebrico, diverso da 0 o 1, elevato a un esponente irrazionale sarà un numero trascendente.
-Il numero Champernowne in base 10:
C_10 = 0,123456789101112131415161718192021 ... .
-Il numero Champernowne in base 2:
C_2 = 0,1101110010110111… .
-Il numero gamma γ o costante di Eulero-Mascheroni:
γ ≈ 0,577 215 664901532860606
Che si ottiene eseguendo il seguente calcolo:
γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)
quando n essere molto molto grande. Per avere il valore esatto del numero Gamma, è necessario eseguire il calcolo con n infinito. Qualcosa di simile a quello che abbiamo fatto sopra.
E ci sono molti altri numeri trascendenti. Il grande matematico Georg Cantor, nato in Russia e vissuto tra il 1845 e il 1918, ha dimostrato che l'insieme dei numeri trascendenti è molto maggiore dell'insieme dei numeri algebrici.
P = π D = 2 π R, dove P è il perimetro, D il diametro e R il raggio della circonferenza. Va ricordato che:
-Il diametro della circonferenza è il segmento più lungo che unisce due punti della stessa e che passa sempre per il suo centro,
-Il raggio è la metà del diametro ed è il segmento che va dal centro al bordo.
A = π RDue = ¼ π DDue
S = 4 π RDue.
Sì. Anche se può non sembrare, la superficie di una sfera è uguale a quella di quattro cerchi dello stesso raggio della sfera..
V = 4/3 π R3
La pizzeria “EXÓTICA” vende pizze di tre diametri: piccola 30 cm, media 37 cm e grande 45 cm. Un bambino ha molta fame e si è accorto che due pizze piccole costano come una grande. Cosa sarà meglio per lui, compra due pizze piccole o una grande?
Maggiore è la superficie, maggiore sarà la quantità di pizza, per questo motivo verrà calcolata la superficie di una pizza grande e confrontata con quella di due pizze piccole:
Ampia area pizza = ¼ π DDue = ¼ ⋅3,1416⋅45Due = 1590,44 cmDue
Piccola area pizza = ¼ π dDue = ¼ ⋅3,1416⋅30Due = 706,86 cmDue
Quindi due pizzette avranno una superficie di
2 x 706,86 = 1413,72 cmDue .
È chiaro: avrai più pizze acquistando una sola grande che due piccole.
La pizzeria “EXÓTICA” vende anche una pizza semisferica con raggio di 30 cm allo stesso prezzo di una pizza di forma rettangolare con un lato di 30 x 40 cm. Quale sceglieresti?
Come accennato nella sezione precedente, la superficie di una sfera è quattro volte quella di un cerchio dello stesso diametro, quindi un emisfero di 30 cm di diametro avrà:
Pizza semisferica 12 '': 1413,72 cmDue (due volte una circolare dello stesso diametro)
Pizza rettangolare: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cmDue .
La pizza semisferica ha una superficie più ampia.
Nessun utente ha ancora commentato questo articolo.