Il numeri primi, Chiamati anche numeri primi assoluti, sono quei numeri naturali che sono divisibili solo tra loro e 1. Questa categoria include numeri come: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e molti altri.
Invece, un numero composto è divisibile per se stesso, per 1 e almeno un altro numero. Abbiamo, ad esempio, 12, che è divisibile per 1, 2, 4, 6 e 12. Per convenzione, 1 non è incluso nell'elenco dei numeri primi o nell'elenco dei composti..
La conoscenza dei numeri primi risale ai tempi antichi; gli antichi egizi li usavano già ed erano sicuramente conosciuti molto tempo prima.
Questi numeri sono molto importanti, poiché qualsiasi numero naturale può essere rappresentato dal prodotto di numeri primi, questa rappresentazione essendo unica, tranne nell'ordine dei fattori.
Questo fatto è pienamente stabilito in un teorema chiamato Il teorema fondamentale dell'aritmetica, che afferma che i numeri che non sono primi, sono necessariamente costituiti da prodotti di numeri che lo sono.
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Ecco le principali caratteristiche dei numeri primi:
-Sono infiniti, poiché non importa quanto sia grande un numero primo, puoi sempre trovarne uno maggiore.
-Se un numero primo p non si divide esattamente in un altro numero per, si dice allora quello p Y per sono cugini l'uno dell'altro. Quando ciò accade, l'unico divisore comune che hanno entrambi è 1.
Non è necessario per essere cugino assoluto. Ad esempio, 5 è primo e, sebbene 12 non lo sia, entrambi i numeri sono primi l'uno per l'altro, poiché entrambi hanno 1 come divisore comune..
-Quando un numero primo p dividere per una potenza di numero n, anche dividere n. Consideriamo 100, che è una potenza di 10, in particolare 10Due. Succede che 2 divide sia 100 che 10.
-Tutti i numeri primi sono dispari tranne 2, quindi la sua ultima cifra è 1, 3, 7 o 9. 5 non è incluso, perché sebbene sia dispari e primo, non è mai la cifra finale di un altro numero primo. Infatti tutti i numeri che finiscono per 5 sono multipli di questo e quindi non sono primi.
-sì p è primo e divisore del prodotto di due numeri a.b, poi p dividerne uno. Ad esempio, il numero primo 3 divide il prodotto 9 x 11 = 99, poiché 3 è un divisore di 9.
Il primalità è il nome dato alla qualità di essere prime. Ebbene, il matematico francese Pierre de Fermat (1601-1665) ha trovato un modo per verificare la primalità di un numero, nel cosiddetto Il piccolo teorema di Fermat, Dice così:
"Dato un numero naturale primo p e qualsiasi numero naturale per maggiore di 0, è vero perp - per è un multiplo di p, fintanto che p essere cugino ".
Possiamo corroborare questo usando piccoli numeri, per esempio supponiamo che p = 4, che sappiamo già che non è primo e a = 6:
64 - 6 = 1296 - 6 = 1290
Il numero 1290 non è divisibile esattamente per 4, quindi 4 non è un numero primo.
Facciamo ora il test con p = 5, che è primo ea = 6:
65 - 6 = 7766 - 6 = 7760
7760 è divisibile per 5, poiché qualsiasi numero che termina con 0 o 5 lo è. Infatti 7760/5 = 1554. Poiché vale il piccolo teorema di Fermat, possiamo garantire che 5 sia un numero primo.
La dimostrazione attraverso il teorema è efficace e diretta con numeri piccoli, in cui l'operazione è facile da eseguire, ma cosa fare se ci viene chiesto di scoprire la primalità di un numero grande?
In tal caso, il numero viene diviso successivamente tra tutti i numeri primi più piccoli, fino a quando non viene trovata una divisione esatta o il quoziente è inferiore al divisore.
Se una qualsiasi divisione è esatta, significa che il numero è composto e se il quoziente è inferiore al divisore, significa che il numero è primo. Lo metteremo in pratica nell'esercizio risolto 2.
Esistono infiniti numeri primi e non esiste un'unica formula per determinarli. Tuttavia, guardando alcuni numeri primi come questi:
3, 7, 31, 127 ...
Si osserva che sono della forma 2n - 1, con n = 2, 3, 5, 7, 9 ... Ce ne assicuriamo:
DueDue - 1 = 4 - 1 = 3; Due3 - 1 = 8 - 1 = 7; Due5 - 1 = 32 - 1 = 31; Due7 - 1 = 128 - 1 = 127
Ma non possiamo assicurarti che in generale 2n - 1 è primo, perché ci sono alcuni valori di n per cui non funziona, ad esempio 4:
Due4 - 1 = 16 - 1 = 15
E il numero 15 non è un primo, poiché termina con 5. Tuttavia, uno dei più grandi numeri primi conosciuti, trovato dai calcoli del computer, è della forma 2n - 1 con:
n = 57.885.161
Il Formula di Mersenne ci assicura che 2p - 1 è sempre primo, purché p sii anche cugino. Ad esempio, 31 è primo, quindi 2 è sicuro31 - 1 è anche:
Due31 - 1 = 2.147.483.647
Tuttavia, la formula consente di determinare solo alcuni numeri primi, non tutti.
Il seguente polinomio ci permette di trovare numeri primi finché n è compreso tra 0 e 39:
P (n) = nDue + n + 41
Successivamente, nella sezione degli esercizi risolti, c'è un esempio del suo utilizzo.
Eratostene era un fisico e matematico della Grecia antica che visse nel 3 ° secolo aC. Ha ideato un metodo grafico per trovare i numeri primi che possiamo mettere in pratica con piccoli numeri, è chiamato il setaccio di Eratostene (un setaccio è come un setaccio).
-I numeri vengono inseriti in una tabella come quella mostrata nell'animazione.
-Successivamente, i numeri pari vengono cancellati, ad eccezione del 2, che sappiamo essere primo. Tutti gli altri sono multipli di questo e quindi non sono primi.
-Sono contrassegnati anche i multipli di 3, 5, 7 e 11, escludendoli tutti perché sappiamo che sono primi.
-I multipli di 4, 6, 8, 9 e 10 sono già contrassegnati, perché sono composti e quindi multipli di alcuni dei primi indicati.
-Infine, i numeri non contrassegnati sono primi.
Usando il polinomio di Eulero per i numeri primi, trova 3 numeri maggiori di 100.
Questo è il polinomio proposto da Eulero per trovare i numeri primi, che funziona per valori di n compresi tra 0 e 39.
P (n) = nDue + n + 41
Per tentativi ed errori selezioniamo un valore di n, ad esempio n = 8:
P (8) = 8Due + 8 + 41 = 113
Poiché n = 8 produce un numero primo maggiore di 100, allora valutiamo il polinomio per n = 9 en = 10:
P (9) = 9Due + 9 + 41 = 131
P (10) = 10Due + 10 + 41 = 151
Scopri se i seguenti numeri sono primi:
a) 13
b) 191
Il 13 è abbastanza piccolo da poter usare il piccolo teorema di Fermat e l'aiuto della calcolatrice.
Usiamo a = 2 in modo che i numeri non siano troppo grandi, sebbene si possa anche usare a = 3, 4 o 5:
Due13 - 2 = 8190
8190 è divisibile per 2, poiché è pari, quindi 13 è primo. Il lettore può confermarlo facendo lo stesso test con a = 3.
191 è troppo grande per essere dimostrato con il teorema e una calcolatrice comune, ma possiamo trovare la divisione tra ogni numero primo. Omettiamo la divisione per 2 perché 191 non è pari e la divisione non sarà esatta o il quoziente è inferiore a 2.
Proviamo a dividere per 3:
191/3 = 63.666 ...
E non dà esatto, né il quoziente è inferiore al divisore (63.666 ... è maggiore di 3)
Continuiamo così cercando di dividere 191 tra i primi 5, 7, 11, 13 e non si raggiunge la divisione esatta, né il quoziente inferiore al divisore. Fino a quando non viene diviso per 17:
191/17 = 11, 2352 ...
Poiché non è esatto e 11.2352 ... è inferiore a 17, il numero 191 è un numero primo.
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