Il numeri amichevoli o amichevoli sono due numeri naturali aeb la cui somma dei divisori di uno di essi (escluso il numero) è uguale all'altro numero, e la somma dei divisori di quest'altro (non includendolo neanche) è uguale al primo numero.
Sono state trovate molte coppie di numeri che condividono questa curiosa proprietà. Non sono numeri troppo piccoli, i più piccoli sono 220 e 284, scoperti diversi secoli fa. Quindi mettiamoli come esempio di cosa significhi questa peculiare amicizia tra i numeri..
I divisori di 220, escluso 220, sono: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Da parte loro, i divisori di 284, escluso 284 sono: 1, 2 , 4, 71 e 142.
Ora aggiungiamo i divisori del primo numero, che è 220:
D1 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Osserviamo che in effetti la somma è 284, il numero amichevole.
Quindi vengono aggiunti i divisori di 284:
DDue = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
E ottieni il primo membro della coppia.
Gli antichi matematici greci della scuola pitagorica, fondata da Pitagora (569-475 a.C.), autore del celebre teorema omonimo, riuscirono a scoprire questa peculiare relazione tra questi due numeri, a cui attribuivano molte qualità mistiche.
Erano noti anche ai matematici islamici del Medioevo, che riuscirono a determinare una formula generale per trovare numeri amichevoli intorno all'anno 850 d.C..
Indice articolo
Il matematico islamico Thabit Ibn Qurra (826-901) ha trovato un modo per generare alcuni numeri amichevoli. Sean p, che cosa Y r tre numeri primi, cioè numeri che ammettono solo 1 e se stessi come divisori.
Quando è soddisfatto quanto segue:
p = 3,2n-1 - 1
q = 3,2n - 1
r = 9,22n-1 - 1
Con n un numero maggiore di 1, quindi:
a = 2npq e b = 2nr
Costituiscono un paio di numeri amichevoli. Testiamo la formula per n = 2 e vediamo quale coppia di numeri amichevoli genera:
p = 3,22-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5
q = 3,2Due - 1 = 11
r = 9,22.2-1 - 1 = 71
Poi:
a = 2npq = 2Due. 5. 11 = 220
b = 2nr = 2Due. 71 = 284
La formula del matematico medievale funziona per n = 2, poiché questi sono proprio i primi numeri amichevoli, di cui si parlava all'inizio e che erano già noti durante il Medioevo..
Tuttavia, il teorema non funziona per tutti i numeri amichevoli trovati finora, solo per n = 2, n = 4 e n = 7.
Secoli dopo, il matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783) derivò una nuova regola per trovare numeri amichevoli, basata su quella di Thabit Ibn Qurra:
p = (2n-m + 1). Duem - 1
q = (2n-m + 1). Duen - 1
r = (2n-m + 1)Due. Duem + n - 1
Come sempre, i numeri p, q e r sono primi, ma ora ci sono due esponenti interi: me n, di cui m deve soddisfare la seguente condizione:
1 ≤ m ≤ n-1
La coppia di numeri amichevoli si forma nello stesso modo:
a = 2npq
b = 2nr
Se m = n-1, si ottiene di nuovo il teorema di Thabit, ma come con il teorema del matematico islamico, non tutti i numeri amichevoli soddisfano la regola di Eulero. Tuttavia, con esso, il numero di numeri amichevoli conosciuti fino a quel momento aumentò..
Ecco le prime coppie di esponenti (m, n) con cui trovare alcuni numeri amichevoli:
(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) e (29,40)
Successivamente, nella sezione degli esercizi, troveremo la coppia di numeri amichevoli che si forma grazie agli esponenti (3,4) della regola di Eulero.
-220 e 284
-1184 e 1210
-2620 e 2924
-5020 e 5564
-6232 e 6368
-10.744 e 10.856
-12.285 e 14.595
-17.296 e 18.416
Naturalmente, dal computer puoi generare molte più coppie di numeri amichevoli.
Vedremo ora come trovare i divisori di un numero, per verificare se sono amici. Secondo la definizione di numeri amichevoli, per poterli sommare sono necessari tutti i divisori di ogni partecipante, tranne i numeri stessi.
Ora, i numeri naturali possono essere divisi in due gruppi: numeri primi e numeri composti..
I numeri primi ammettono solo 1 e se stessi come divisori esatti. E i numeri composti da parte loro, possono sempre essere espressi come il prodotto di numeri primi e hanno altri divisori, oltre a 1 e loro stessi..
Qualsiasi numero composto N, come 220 o 284, può essere espresso in questo modo:
N = an . bm. cp... rK
Dove a, b, c ... r sono numeri primi e n, m, p ... k sono esponenti appartenenti ai numeri naturali, che possono essere da 1 in poi.
In termini di questi esponenti, esiste una formula per sapere quanti (ma non quali) divisori ha il numero N. Sia C questa quantità:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
Una volta che il numero N è espresso in termini di prodotti di numeri primi e si sa quanti divisori ha, abbiamo già gli strumenti per sapere quali sono i suoi divisori, primi e non primi. Ed è che devi conoscerli tutti per verificare se sono amici, tranne l'ultimo, che è il numero stesso.
Trova tutti i divisori della coppia di numeri amichevoli 220 e 284.
Troviamo prima i divisori primi di 220, che è un numero composto:
220 │2
110 │2
55 │5
11-11
1 │
La scomposizione in fattori primi di 220 è:
220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2Due.5. 11
Quindi n = 2, m = 1, p = 1 e ha:
C = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 divisori
I primi divisori che si notano quando il numero viene scomposto sono: 1, Due, 4, 5 Y undici. E lo sono anche 110 Y 55.
Ne mancherebbero 5, che stanno realizzando prodotti tra i cugini e le loro combinazioni: 2Due.5 = venti; DueDue.11 = 44; 2. 11 = 22 e infine il 1 e il suo 220.
Una procedura analoga è seguita per 284:
284 │2
142 │2
71-71
1 │
284 = 2Due. 71
C = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisori
Questi divisori sono: 1, 2, 4, 71, 142 e 284, come detto all'inizio.
Il controllo della formula di Eulero per n = 4 em = 3 genera la tripla dei numeri primi (p, q, r) = (23,47, 1151). Qual è la coppia di numeri amichevoli formati con loro?
I numeri primi p, q e r sono calcolati da:
p = (2n-m + 1). Duem - 1
q = (2n-m + 1). Duen - 1
r = (2n-m + 1)Due. Duem + n - 1
Sostituendo i valori di m = 3 en = 4, otteniamo:
p = (24-3 + 1). Due3 - 1 = 23
q = (24-3 + 1). Due4 - 1 = 47
r = (24-3 + 1)Due. Due4 + 3 - 1 = 1151
Ora applichiamo la formula per trovare la coppia di numeri amichevoli aeb:
a = 2npq
b = 2nr
a = 2npq = 16. 23. 47 = 17.296
b = 2nr = 16. 1151 = 18,416
E infatti sono nella lista delle prime coppie di numeri amichevoli che abbiamo mostrato in precedenza.
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