Il misura approssimativa di figure amorfe consiste in una serie di metodi utilizzati per determinare l'area o il perimetro di figure geometriche che non siano triangoli, quadrati, cerchi, ecc. Alcuni sono estendibili a figure tridimensionali.
Fondamentalmente la misurazione consiste nel creare una griglia di una forma regolare, come rettangoli, quadrati o trapezi, che coprono approssimativamente la superficie. La precisione dell'approssimazione dell'area ottenuta con questi metodi aumenta con la finezza o densità del reticolo..
Le figure 1 e 2 mostrano varie figure amorfe. Per calcolare l'area è stata realizzata una griglia, composta da 2 x 2 quadrati, a loro volta suddivisi in venticinque 2/5 x 2/5 quadrati.
Sommando le aree dei quadrati principali e dei quadrati secondari si ottiene l'area approssimativa della figura amorfa.
Indice articolo
Spesso è necessario calcolare approssimativamente l'area sotto una curva compresa tra due valori limite. In questo caso, invece di un reticolo quadrato, possono essere disegnate strisce rettangolari che coprono approssimativamente l'area sotto detta curva..
Viene chiamata la somma di tutte le strisce rettangolari somma o somma di Riemann. La figura 3 mostra una partizione dell'intervallo [a, b] su cui vogliamo approssimare l'area sotto la curva.
Supponi di voler calcolare l'area sotto la curva data dalla funzione y = f (x), dove x appartiene all'intervallo [a, b] entro il quale vuoi calcolare l'area. Per questo, una partizione di n elementi viene eseguita all'interno di questo intervallo:
Partizione = x0 = a, x1, x2,…, xn = b.
Quindi l'area approssimativa sotto la curva data da y = f (x) nell'intervallo [a, b] si ottiene eseguendo la seguente somma:
S = ∑k = 1n f (tK) (XK - Xk-1)
DoveK è compreso tra xk-1 e xK: Xk-1 ≤ tK ≤ xK .
La Figura 3 mostra graficamente la somma di Riemann della curva y = f (x) nell'intervallo [x0, x4]. In questo caso, è stata creata una partizione di quattro sottointervalli e la somma rappresenta l'area totale dei rettangoli grigi.
Questa somma rappresenta un'approssimazione dell'area sotto la curva f tra le ascisse x = x0 e x = x4.
L'approssimazione all'area sotto la curva migliora con il numero n delle partizioni è maggiore e tende ad essere esattamente l'area sotto la curva quando il numero n delle partizioni tende all'infinito.
Nel caso in cui la curva sia rappresentata da una funzione analitica, i valori f (tK) vengono calcolati valutando questa funzione ai valori tK. Ma se la curva non ha un'espressione analitica, rimangono le seguenti possibilità:
A seconda della scelta del valore tk nell'intervallo [xK, Xk-1], la somma può sovrastimare o sottostimare il valore esatto dell'area sotto la curva della funzione y = f (x). La cosa più consigliabile è prendere il punto tk in cui l'area mancante è approssimativamente uguale all'area in eccesso, sebbene non sia sempre possibile effettuare una tale scelta..
La cosa più pratica quindi è usare intervalli regolari di larghezza Δx = (b - a) / n, dove aeb sono i valori minimo e massimo dell'ascissa, mentre n è il numero di suddivisioni.
In tal caso l'area sotto la curva viene approssimata da:
Area = f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f [a + (n-1] Δx + f (b) * Δx
Nell'espressione sopra, tk è stato preso all'estremità destra del sottointervallo.
Un'altra possibilità pratica è prendere il valore tk all'estrema sinistra, nel qual caso la somma che approssima l'area è espressa come:
Area = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
Nel caso in cui tk sia scelto come valore centrale del sottointervallo regolare di larghezza Δx, la somma che approssima l'area sotto la curva è:
Area = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Ognuna di queste espressioni tende al valore esatto nella misura in cui il numero di suddivisioni è arbitrariamente grande, cioè che Δx tende a zero, ma in questo caso il numero di termini nella sommatoria diventa immensamente grande con il conseguente costo computazionale.
La figura 2 mostra una figura amorfa, il cui contorno è simile alle pietre nell'immagine 1. Per calcolare la sua area, viene posizionata su una griglia con quadrati principali di 2 x 2 unità quadrate (ad esempio, possono essere 2 cm²)..
E poiché ogni quadrato è suddiviso in suddivisioni 5 x 5, ogni suddivisione ha un'area di 0,4 x 0,4 unità quadrate (0,16 cm²).
L'area della figura sarebbe calcolata in questo modo:
Area = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²
Vale a dire:
Area = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².
Calcola approssimativamente l'area sotto la curva data dalla funzione f (x) = xDue tra a = -2 e b = +2. Per fare ciò, scrivi prima la somma per n partizioni regolari dell'intervallo [a, b] e poi prendi il limite matematico per il caso in cui il numero di partizioni tende all'infinito.
Per prima cosa definisci l'intervallo delle partizioni come
Δx = (b - a) / n.
Quindi la somma giusta corrispondente alla funzione f (x) ha questo aspetto:
[-2 + (4i / n)]Due = 4-16 i / n + (4 / n)Due ioDue
E poi viene sostituito nella sommatoria:
E il terzo risultato:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6nDue
La scelta di un valore elevato per n fornisce una buona approssimazione all'area sotto la curva. Tuttavia, in questo caso è possibile ottenere il valore esatto prendendo il limite matematico quando n tende all'infinito:
Area = limn-> ∞[16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6nDue]
Area = 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333.
Nessun utente ha ancora commentato questo articolo.