UN ipercubo è un cubo di dimensione n. Si chiama il caso particolare dell'ipercubo quadridimensionale tesseract. Un ipercubo o n-cubo è costituito da segmenti retti, tutti di uguale lunghezza ortogonali ai vertici.
Gli esseri umani percepiscono lo spazio tridimensionale: larghezza, altezza e profondità, ma non è possibile per noi visualizzare un ipercubo con una dimensione maggiore di 3.
Al massimo possiamo farne delle proiezioni nello spazio tridimensionale per rappresentarlo, in modo simile a come proiettiamo un cubo su un piano per rappresentarlo..
Nella dimensione 0 l'unica cifra è il punto, quindi un cubo 0 è un punto. Un 1-cubo è un segmento retto, che si forma spostando un punto in una direzione a una distanza a.
Da parte sua, un 2-cubo è un quadrato. È costruito spostando il 1-cubo (il segmento di lunghezza a) nella direzione y, che è ortogonale alla direzione x, una distanza a.
Il 3-cubo è il cubo comune. Viene costruito dal quadrato spostandolo nella terza direzione (z), che è ortogonale alle direzioni xey, una distanza per.
Il 4-cubo è il tesseract, che è costruito da un 3-cubo spostandolo ortogonalmente, una distanza per, verso una quarta dimensione (o quarta direzione), che non possiamo percepire.
Un tesseract ha tutti i suoi angoli retti, ha 16 vertici e tutti i suoi bordi (18 in totale) hanno la stessa lunghezza per.
Se la lunghezza dei bordi di un n-cubo o ipercubo di dimensione n è 1, allora è un ipercubo unitario, in cui la diagonale più lunga misura √n.
Indice articolo
Le dimensioni sono i gradi di libertà o le possibili direzioni in cui un oggetto può muoversi.
Nella dimensione 0 non c'è possibilità di traslare e l'unico oggetto geometrico possibile è il punto.
Una dimensione nello spazio euclideo è rappresentata da una linea o asse orientato che definisce quella dimensione, chiamata asse X. La separazione tra due punti A e B è la distanza euclidea:
d = √ [(xper - Xb)Due].
In due dimensioni, lo spazio è rappresentato da due linee orientate ortogonali tra loro, chiamate asse X e asse Y..
La posizione di qualsiasi punto in questo spazio bidimensionale è data dalla sua coppia di coordinate cartesiane (x, y) e la distanza tra due punti qualsiasi A e B sarà:
d = √ [(xper - Xb)Due + (Yper - Yb)Due]
Perché è uno spazio in cui si compie la geometria di Euclide.
Lo spazio tridimensionale è lo spazio in cui ci muoviamo. Ha tre direzioni: larghezza, altezza e profondità.
In una stanza vuota gli angoli perpendicolari tra loro danno queste tre direzioni e ad ognuna possiamo associare un asse: X, Y, Z.
Anche questo spazio è euclideo e la distanza tra due punti A e B è calcolata come segue:
d = √ [(xper - Xb)Due + (Yper - Yb)Due + (zper - zb)Due]
Gli esseri umani non possono percepire più di tre dimensioni spaziali (o euclidee).
Tuttavia, da un punto di vista strettamente matematico è possibile definire uno spazio euclideo n-dimensionale.
In questo spazio, un punto ha coordinate: (x1, x2, x3,…, xn) e la distanza tra due punti è:
d = √ [(x1 ° - X1 B)Due + (X2 ° - X2b)Due +... + (Xn / A - Xnb)Due].
Infatti, nella teoria della relatività il tempo è trattato come una dimensione in più e ad esso è associata una coordinata.
Ma è necessario chiarire che questa coordinata associata al tempo è un numero immaginario. Pertanto la separazione di due punti o eventi nello spazio-tempo non è euclidea, ma segue piuttosto la metrica di Lorentz.
Un ipercubo quadridimensionale (il tesseratto) non vive nello spazio-tempo, appartiene a un iper-spazio euclideo quadridimensionale.
Le coordinate dei vertici di un n-cubo centrato all'origine si ottengono facendo tutte le possibili permutazioni della seguente espressione:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Dove a è la lunghezza del bordo.
-Il volume di un n-cubo di bordo a è: (a / 2)n (Duen) = an.
-Il diagonale più lunga è la distanza tra i vertici opposti.
-I seguenti sono vertici opposti in un quadrato: (-1, -1) e (+1, +1).
-E in a Cubo: (-1, -1, -1) e (+1, +1, +1).
-Il diagonale più lunga di un n-cubo misura:
d = √ [1 - (- 1))Due +... + (1 - (- 1))Due] = √ [n 2Due] = 2√n
In questo caso si è supposto che il lato fosse a = 2. Per un n-cubo di qualsiasi lato rimarrà quanto segue:
d = a√n.
-Un tesseract ha ciascuno dei suoi 16 vertici collegati a quattro bordi. La figura seguente mostra come i vertici sono collegati in un tesseract.
Una figura geometrica regolare, ad esempio un poliedro, può essere spiegata in più figure di minore dimensionalità.
Nel caso di un 2-cubo (un quadrato) può essere dispiegato in quattro segmenti, cioè quattro 1-cubo.
Allo stesso modo un 3 cubo può essere dispiegato in sei 2 cubi.
Un cubo da 4 (tesseract) può essere dispiegato in otto cubi da 3.
La seguente animazione mostra lo spiegamento di un tesseract.
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