Il funzioni trascendenti Elementari sono le funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, trigonometriche inverse, iperboliche e iperboliche inverse. Cioè, sono quelli che non possono essere espressi mediante un polinomio, un quoziente di polinomi o radici di polinomi..
Le funzioni trascendenti non elementari sono anche conosciute come funzioni speciali e tra queste si può nominare la funzione di errore. Il funzioni algebriche (polinomi, quozienti di polinomi e radici di polinomi) insieme a funzioni trascendenti elementali costituiscono ciò che in matematica è noto come funzioni elementari.
Le funzioni trascendenti sono anche considerate quelle che risultano da operazioni tra funzioni trascendenti o tra funzioni trascendenti e algebriche. Queste operazioni sono: la somma e la differenza di funzioni, il prodotto e il quoziente di funzioni, nonché la composizione di due o più funzioni.
Indice articolo
È una funzione reale di variabile reale indipendente della forma:
f (x) = a ^ x = aX
dove per è un numero reale positivo (a> 0) fisso chiamato base. Il circonflesso o l'apice sono usati per denotare l'operazione di potenziamento.
Diciamo a = 2 quindi la funzione ha questo aspetto:
f (x) = 2 ^ x = 2X
Che verrà valutato per diversi valori della variabile indipendente x:
Di seguito è riportato un grafico in cui è rappresentata la funzione esponenziale per vari valori della base, inclusa la base e (Numero Neper e ≃ 2,72). Base e è così importante che, in generale, quando parliamo di una funzione esponenziale pensiamo e ^ x, che è anche indicato exp (x).
Dalla figura 1 si può vedere che il dominio delle funzioni esponenziali sono i numeri reali (Dom f = R) e l'intervallo o il percorso sono i reali positivi (Ran f = R+).
D'altra parte, indipendentemente dal valore della base a, tutte le funzioni esponenziali passano per il punto (0, 1) e per il punto (1, a).
Quando la base a> 1, allora la funzione è in aumento e quando 0 < a < 1 la funzione sta diminuendo.
Curve di y = a ^ x e di y = (1 / a) ^ x sono simmetrici rispetto all'asse Y.
Tranne il caso a = 1, la funzione esponenziale è iniettiva, cioè ad ogni valore dell'immagine corrisponde uno ed un solo valore iniziale.
È una funzione reale di variabile indipendente reale basata sulla definizione del logaritmo di un numero. Il logaritmo in base per di un numero X, È il numero Y a cui la base deve essere innalzata per ottenere l'argomento X:
logper(x) = y ⇔ a ^ y = x
Questo è il funzione logaritmo in base per è la funzione inversa della funzione esponenziale in base per.
Per esempio:
logDue1 = 0, poiché 2 ^ 0 = 1
Un altro caso, logDue4 = 2, perché 2 ^ 2 = 4
Il logaritmo della radice di 2 è logDue√2 = ½, perché 2 ^ ½ = √2
logDue ¼ = -2, poiché 2 ^ (- 2) = ¼
Di seguito è riportato un grafico della funzione logaritmo in varie basi.
Il dominio della funzione logaritmo y (x) = logper(X) sono i numeri reali positivi R+. L'intervallo o l'intervallo sono i numeri reali R.
Indipendentemente dalla base, la funzione logaritmo passa sempre per il punto (1,0) e il punto (a, 1) appartiene al grafico di questa funzione.
Nel caso in cui la base a sia maggiore dell'unità (a> 1) la funzione logaritmo è crescente. Ma se (0 < a < 1) entonces es una función decreciente.
La funzione seno assegna un numero reale y a ciascun valore x, dove x rappresenta la misura di un angolo in radianti. Per ottenere il valore del Sen (x) di un angolo, l'angolo è rappresentato nel cerchio unitario e la proiezione di detto angolo sull'asse verticale è il seno corrispondente a quell'angolo.
Quanto segue mostra (in figura 3) il cerchio trigonometrico e il seno per vari valori angolari X1, X2, X3 e X4.
Definito in questo modo, il valore massimo che la funzione Sen (x) può avere è 1, che si verifica quando x = π / 2 + 2π n, dove n è un numero intero (0, ± 1, ± 2,). Il valore minimo che può assumere la funzione Sen (x) si verifica quando x = 3π / 2 + 2π n.
La funzione coseno y = Cos (x) è definita in modo simile, ma la proiezione delle posizioni angolari P1, P2, ecc. Viene eseguita sull'asse orizzontale del cerchio trigonometrico..
D'altra parte, la funzione y = Tan (x) è il quoziente tra la funzione seno e la funzione coseno.
Di seguito è riportato un grafico delle funzioni trascendenti Sen (x), Cos (x) e Tan (x)
Derivato Y ' della funzione esponenziale y = a ^ x è la funzione a ^ x moltiplicato per il logaritmo naturale di base a:
y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a
Nel caso particolare della base e, la derivata della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa.
L'integrale indefinito di a ^ x è la funzione stessa divisa per il logaritmo naturale della base.
Nel caso particolare della base e, l'integrale della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa.
Di seguito una tabella riassuntiva delle principali funzioni trascendenti, delle loro derivate e degli integrali indefiniti (antiderivativi):
Trova la funzione risultante dalla composizione della funzione f (x) = x ^ 3 con la funzione g (x) = cos (x):
(f o g) (x) = f (g (x)) = cos3(X)
La sua derivata e il suo integrale indefinito è:
Trova la composizione della funzione g con la funzione f, dove g e f sono le funzioni definite nell'esempio precedente:
(go f) (x) = g (f (x)) = cos (x3)
Va notato che la composizione delle funzioni non è un'operazione commutativa.
La derivata e l'integrale indefinito per questa funzione sono rispettivamente:
L'integrale è stato lasciato indicato perché non è possibile scrivere esattamente il risultato come una combinazione di funzioni elementari.
Nessun utente ha ancora commentato questo articolo.