Il speranza matematica o il valore atteso di variabile casuale X, è indicato come E (X) ed è definito come la somma del prodotto tra la probabilità che si verifichi un evento casuale e il valore di detto evento.
In forma matematica si esprime come segue:
μ = E (X) = ∑ xio. P (xio) = x1.P (x1) + xDue.P (xDue) + x3.P (x3) + ...
Dove xio è il valore dell'evento e P (xio) la sua probabilità di accadimento. La somma si estende su tutti i valori che X ammette. E se questi sono finiti, la somma indicata converge al valore E (X), ma se la somma non converge, la variabile semplicemente non ha valore atteso.
Quando si tratta di una variabile continua X, la variabile può avere valori infiniti e gli integrali sostituiscono le sommatorie:
Qui f (x) rappresenta il densità di probabilità.
In generale, l'aspettativa matematica (che è una media ponderata) non è uguale alla media o alla media aritmetica, a meno che non si tratti di distribuzioni discrete in cui ogni evento è altrettanto probabile. Allora, e solo allora:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ xio
Dove n è il numero di valori possibili.
Il concetto è molto utile nei mercati finanziari e nelle compagnie di assicurazione, dove spesso manca la certezza ma ci sono probabilità..
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Tra le proprietà più importanti dell'aspettativa matematica, spiccano le seguenti:
- Cartello: se X è positivo, lo sarà anche E (X).
- Valore atteso di una costante: il valore atteso di una costante reale K è la costante.
E (k) = k
- Linearità nella somma: l'aspettativa di una variabile casuale che a sua volta è la somma di due variabili X e Y è la somma delle aspettative.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Moltiplicazione per una costante: se la variabile casuale è della forma kX, dove K è una costante (un numero reale), esce fuori dal valore atteso.
E (kX) = k E (X)
- Valore atteso del prodotto e indipendenza tra le variabili: se una variabile casuale è il prodotto delle variabili casuali X e Y, che sono indipendenti, quindi il valore atteso del prodotto è il prodotto dei valori attesi.
E (X.Y) = E (X) .E (Y)
- Variabile casuale del modulo Y = aX + b: trovato applicando le proprietà precedenti.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
In generale, sì Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (xio). P [g (xio)]
- Ordine sul valore previsto: se X ≤ Y, allora:
E (X) ≤ E (Y)
Poiché ci sono i valori attesi di ciascuno di essi.
Quando il famoso astronomo Christian Huygens (1629-1695) non osservava i cieli, si dedicò allo studio, tra le altre discipline, della probabilità nei giochi d'azzardo. Fu lui a introdurre il concetto di speranza matematica nella sua opera del 1656 intitolata: Ragionare sul gioco d'azzardo.
Huygens ha scoperto che le scommesse potevano essere classificate in tre modi, in base al valore atteso:
-Giochi vantaggiosi: E (X)> 0
-Scommesse corrette: E (X) = 0
-Partita con handicap: E (X) < 0
Il problema è che in un gioco d'azzardo l'aspettativa matematica non è sempre facile da calcolare. E quando puoi, il risultato a volte è deludente per chi si chiede se scommettere o meno.
Proviamo una scommessa semplice: testa o croce e il perdente paga 1 $ di caffè. Qual è il valore atteso di questa scommessa?
Ebbene, la probabilità che una testa venga tirata è ½, uguale a una croce. La variabile casuale è guadagnare $ 1 o perdere $ 1, il guadagno è indicato dal segno + e la perdita dal segno -.
Organizziamo le informazioni in una tabella:
Moltiplichiamo i valori delle colonne: 1. ½ = ½ e (-1). ½ = -½ e infine i risultati vengono aggiunti. La somma è 0 ed è un gioco leale, in cui i partecipanti non dovrebbero né vincere né perdere.
La roulette francese e la lotteria sono giochi con handicap in cui la maggior parte degli scommettitori perde. Successivamente c'è una scommessa leggermente più complessa nella sezione degli esercizi risolti.
Ecco alcuni semplici esempi in cui il concetto di aspettativa matematica è intuitivo e chiarisce il concetto:
Inizieremo tirando un dado onesto. Qual è il valore atteso del lancio? Bene, se il dado è onesto e ha 6 teste, la probabilità che un qualsiasi valore (X = 1, 2, 3… 6) tiri è 1/6, in questo modo:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
Il valore atteso in questo caso è uguale alla media, poiché ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire. Ma E (X) non è un valore possibile, poiché nessuna testa vale 3.5. Questo è perfettamente possibile in alcune distribuzioni, anche se in questo caso il risultato non aiuta molto lo scommettitore..
Vediamo un altro esempio con il lancio di due monete.
Due monete oneste vengono lanciate in aria e definiamo la variabile casuale X come il numero di teste che vengono lanciate. Gli eventi che possono verificarsi sono i seguenti:
-Nessuna testa esce: 0 testa che è uguale a 2 croci.
-Restituisce 1 testa e 1 croce o croce.
-Vengono fuori 2 facce.
Sia C una testa e T un sigillo, lo spazio campionario che descrive questi eventi è il seguente:
Sm = Seal-Seal; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face = TT, TC, CT, CC
Le probabilità che gli eventi accadano sono:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
La tabella è costruita con i valori ottenuti:
Secondo la definizione data all'inizio, l'aspettativa matematica è calcolata come:
μ = E (X) = ∑ xio. P (xio) = x1.P (x1) + xDue.P (xDue) + x3.P (x3) + ...
Valori sostitutivi:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Questo risultato è interpretato come segue: se una persona ha abbastanza tempo per fare un gran numero di esperimenti lanciando le due monete, ci si aspetta che ottenga una testa a ogni lancio..
Tuttavia, sappiamo che i rilasci con 2 etichette sono perfettamente possibili..
Nel lancio di due monete oneste viene fatta la seguente scommessa: se escono 2 teste, si vince $ 3, se esce 1 testa, si vince $ 1, ma se escono due francobolli, si devono pagare $ 5. Calcola la vincita prevista della scommessa.
La variabile casuale X è i valori che il denaro prende nella scommessa e le probabilità sono state calcolate nell'esempio precedente, quindi la tabella della scommessa è:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Poiché il valore atteso è 0, è un gioco leale, quindi qui ci si aspetta che lo scommettitore non vinca e non perda neanche. Tuttavia, gli importi della scommessa possono essere modificati per rendere la scommessa un gioco con handicap o un gioco con handicap..
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