Il derivate successive sono le derivate di una funzione dopo la derivata seconda. Il processo per calcolare le derivate successive è il seguente: abbiamo una funzione f, che possiamo derivare e quindi ottenere la funzione derivata f '. Possiamo derivare di nuovo questa derivata di f, ottenendo (f ')'.
Questa nuova funzione è chiamata derivata seconda; tutte le derivate calcolate dal secondo sono successive; Questi, detti anche di ordine superiore, hanno grandi applicazioni, come fornire informazioni sulla trama del grafico di una funzione, il test della derivata seconda per estremi relativi e la determinazione di serie infinite.
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Usando la notazione di Leibniz, abbiamo che la derivata di una funzione "y" rispetto a "x" è dy / dx. Per esprimere la seconda derivata di "y" usando la notazione di Leibniz, scriviamo come segue:
In generale, possiamo esprimere le derivate successive come segue con la notazione di Leibniz, dove n rappresenta l'ordine della derivata.
Altre notazioni utilizzate sono le seguenti:
Alcuni esempi in cui possiamo vedere le diverse notazioni sono:
Ottieni tutte le derivate della funzione f definita da:
Usando le solite tecniche di derivazione, abbiamo che la derivata di f è:
Ripetendo il processo possiamo ottenere la derivata seconda, la derivata terza e così via.
Nota che la quarta derivata è zero e la derivata zero è zero, quindi abbiamo:
Calcola la quarta derivata della seguente funzione:
Derivando la funzione data abbiamo come risultato:
Una delle motivazioni che hanno portato alla scoperta della derivata è stata la ricerca della definizione di velocità istantanea. La definizione formale è la seguente:
Sia y = f (t) una funzione il cui grafico descrive la traiettoria di una particella in un istante t, allora la sua velocità all'istante t è data da:
Una volta ottenuta la velocità di una particella, possiamo calcolare l'accelerazione istantanea, che è definita come segue:
L'accelerazione istantanea di una particella il cui percorso è dato da y = f (t) è:
Una particella si muove lungo una linea secondo la funzione di posizione:
Dove "y" è misurato in metri e "t" in secondi.
- In quale istante la sua velocità è 0?
- In quale istante la sua accelerazione è 0?
Quando si ricava la funzione posizione "y" si ha che la sua velocità e accelerazione sono date rispettivamente da:
Per rispondere alla prima domanda, è sufficiente determinare quando la funzione v diventa zero; questo è:
Procediamo con la seguente domanda in modo analogo:
Una particella si muove lungo una linea secondo la seguente equazione del moto:
Determina "t, y" e "v" quando a = 0.
Sapendo che velocità e accelerazione sono date da
Procediamo per ricavare e ottenere:
Facendo a = 0, abbiamo:
Da dove possiamo dedurre che il valore di t in modo che a sia uguale a zero è t = 1.
Quindi, valutando la funzione di posizione e la funzione di velocità in t = 1, abbiamo:
Derivate successive possono essere ottenute anche per derivazione implicita.
Data la seguente ellisse, trova "y":
Derivando implicitamente rispetto a x, abbiamo:
Quindi la ri-derivazione implicita rispetto a x ci dà:
Infine, abbiamo:
Un altro uso che possiamo dare alle derivate di secondo ordine è nel calcolo degli estremi relativi di una funzione.
Il criterio della derivata prima per gli estremi locali ci dice che, se abbiamo una funzione continua f in un intervallo (a, b) ed esiste una c che appartiene a detto intervallo tale che f 'svanisce in c (cioè che c è un punto critico), si può verificare uno dei tre casi:
- Se f '(x)> 0 per ogni x appartenente a (a, c) e f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.
- Se f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 per x appartenente a (c, b), allora f (c) è un minimo locale.
- Se f '(x) ha lo stesso segno in (a, c) e in (c, b), implica che f (c) non è un estremo locale.
Utilizzando il criterio della derivata seconda possiamo sapere se un numero critico di una funzione è un massimo o un minimo locale, senza dover vedere quale sia il segno della funzione negli intervalli suddetti..
Il secondo criterio di deriva ci dice che se f '(c) = 0 e che f "(x) è continuo in (a, b), succede che se f" (c)> 0 allora f (c) è un locale minimo e se f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.
Se f "(c) = 0, non possiamo concludere nulla.
Data la funzione f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4xDue, trova i massimi e minimi relativi di f applicando il criterio della derivata seconda.
Per prima cosa calcoliamo f '(x) ef "(x) e abbiamo:
f '(x) = 4x3 + 4xDue - 8x
f "(x) = 12xDue + 8x - 8
Ora, f '(x) = 0 se, e solo se 4x (x + 2) (x - 1) = 0, e questo accade quando x = 0, x = 1 o x = - 2.
Per determinare se i numeri critici ottenuti sono estremi relativi, è sufficiente valutare af "e quindi osservarne il segno.
f "(0) = - 8, quindi f (0) è un massimo locale.
f "(1) = 12, quindi f (1) è un minimo locale.
f "(- 2) = 24, quindi f (- 2) è un minimo locale.
Sia f una funzione definita come segue:
Questa funzione ha un raggio di convergenza R> 0 e ha derivate di tutti gli ordini in (-R, R). Le successive derivate di f ci danno:
Prendendo x = 0, possiamo ottenere i valori di cn sulla base dei suoi derivati come segue:
Se prendiamo n = 0 come funzione f (cioè f ^ 0 = f), allora possiamo riscrivere la funzione come segue:
Consideriamo ora la funzione come una serie di potenze in x = a:
Se eseguiamo un'analisi analoga alla precedente, avremmo di poter scrivere la funzione f come:
Queste serie sono note come serie di Taylor dalla f alla a. Quando a = 0 abbiamo il caso particolare che si chiama serie Maclaurin. Questo tipo di serie è di grande importanza matematica soprattutto nell'analisi numerica, poiché grazie a queste possiamo definire funzioni nei computer come eX , sin (x) e cos (x).
Ottieni la serie Maclaurin per eX.
Nota che se f (x) = eX, poi f(n)(x) = eX e f(n)(0) = 1, quindi la tua serie Maclaurin è:
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