Lunghezza della corda (geometria), teorema ed esercizi

4188
Abraham McLaughlin

UN corda, nella geometria piana, è il segmento di linea che unisce due punti su una curva. Si dice che la linea che contiene questo segmento sia una linea secante rispetto alla curva. Questo è spesso un cerchio, ma gli accordi possono certamente essere disegnati su molte altre curve, come ellissi e parabole..

Nella figura 1 a sinistra è presente una curva a cui appartengono i punti A e B. L'accordo tra A e B è il segmento verde. A destra c'è una circonferenza e una delle sue corde, poiché è possibile disegnare infinite.

Figura 1. A sinistra la corda di una curva arbitraria ea destra la corda di un cerchio. Fonte: Wikimedia Commons.

Nella circonferenza è particolarmente interessante il suo diametro, noto anche come accordo maggiore. È un accordo che contiene sempre il centro della circonferenza e misura il doppio del raggio.

La figura seguente mostra il raggio, il diametro, una corda e anche l'arco di un cerchio. Identificare correttamente ciascuno di essi è importante quando si risolvono i problemi.

Figura 2. Elementi della circonferenza. Fonte: Wikimedia Commons.

Indice articolo

  • 1 Lunghezza corda di una circonferenza
    • 1.1 Teorema delle stringhe 
  • 2 Risolti esercizi di archi
    • 2.1 - Esercizio 1
    • 2.2 - Esercizio 2
  • 3 Riferimenti

Lunghezza corda di una circonferenza

Possiamo calcolare la lunghezza della corda in un cerchio dalle Figure 3a e 3b. Si noti che un triangolo è sempre formato con due lati uguali (isosceli): i segmenti OA e OB, che misurano R, il raggio della circonferenza. Il terzo lato del triangolo è il segmento AB, chiamato C, che è precisamente la lunghezza della corda.

Occorre tracciare una retta perpendicolare alla corda C per bisecare l'angolo θ che esiste tra i due raggi e il cui vertice è il centro O della circonferenza. Questo è un angolo centrale -perché il suo vertice è il centro e anche la bisettrice è una secante della circonferenza.

Immediatamente si formano due triangoli rettangoli, la cui ipotenusa misura R. Poiché la bisettrice, e con essa il diametro, divide la corda in due parti uguali, risulta che una delle gambe è la metà di C, come indicato in figura 3b.

Dalla definizione del seno di un angolo:

sin (θ / 2) = gamba opposta / ipotenusa = (C / 2) / R

Perciò:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Figura 3. Il triangolo formato da due raggi e una corda di circonferenza è isoscele (figura 3), poiché ha due lati uguali. La bisettrice lo divide in due triangoli rettangoli (Figura 3b). Fonte: preparato da F. Zapata.

Teorema delle stringhe 

Il teorema delle stringhe funziona così:

Se due accordi qualsiasi di un cerchio si intersecano in un punto, il prodotto della lunghezza dei segmenti che appaiono su uno degli accordi è uguale al prodotto delle lunghezze dei segmenti che sono definiti sull'altro accordo..

La figura seguente mostra due accordi della stessa circonferenza: AB e CD, che si intersecano nel punto P. Nella corda AB sono definiti i segmenti AP e PB, mentre nell'accordo CD sono definiti CP e PD. Quindi, secondo il teorema:

AP. PB = CP. P.S.

Figura 4. Teorema degli accordi di un cerchio. Fonte: F. Zapata.

Risolti esercizi di archi

- Esercizio 1

Una circonferenza ha una corda di 48 cm, che è 7 cm dal centro. Calcola l'area del cerchio e il perimetro della circonferenza.

Soluzione  

Per calcolare l'area del cerchio A, è sufficiente conoscere il raggio della circonferenza al quadrato, poiché è vero:

A = π.RDue

Ora, la figura che si forma con i dati forniti è un triangolo rettangolo, le cui gambe sono rispettivamente di 7 e 24 cm.

Figura 5. Geometria per l'esercizio risolto 1. Fonte: F. Zapata.

Quindi per trovare il valore di RDue il teorema di Pitagora è applicato direttamente cDue = aDue + bDue, poiché R è l'ipotenusa del triangolo:

RDue = (7 cm)Due + (24 cm)Due = 625 cmDue

Quindi l'area richiesta è:

A = π. 625 cmDue = 1963,5 cmDue

Per quanto riguarda il perimetro o lunghezza L della circonferenza, viene calcolato da:

L = 2π. R

Valori sostitutivi:

R = √625 cmDue = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Esercizio 2

Determina la lunghezza della corda di un cerchio la cui equazione è:

XDue + YDue - 6x - 14y -111 = 0

Le coordinate del punto medio dell'accordo sono note come P (17/2; 7/2).

Soluzione

Il punto medio dell'accordo P non appartiene alla circonferenza, ma i punti finali della corda sì. Il problema può essere risolto mediante il teorema delle stringhe precedentemente citato, ma prima è conveniente scrivere l'equazione della circonferenza in forma canonica, per determinarne il raggio R e il suo centro O.

Passaggio 1: ottieni l'equazione canonica della circonferenza

L'equazione canonica del cerchio con centro (h, k) è:

(x-h)Due + (y-k)Due = RDue

Per ottenerlo è necessario completare i quadrati:

(XDue - 6x) + (eDue - 14y) -111 = 0

Si noti che 6x = 2. (3x) e 14y = 2. (7y), in modo che l'espressione precedente venga riscritta in questo modo, rimanendo invariata:

(XDue - 6x + 3Due-3Due) + (eDue - 14 anni + 7Due-7Due) -111 = 0

E ora, ricordando la definizione di prodotto straordinario (a-b)Due = aDue - 2ab + bDue Può essere scritto:

(x - 3)Due - 3Due + (e - 7)Due - 7Due - 111 = 0

= (x - 3)Due + (e - 7)Due = 111 + 3Due + 7Due → (x - 3)Due + (e - 7)Due = 169

La circonferenza ha centro (3,7) e raggio R = √169 = 13. La figura seguente mostra il grafico della circonferenza e delle corde che verranno utilizzate nel teorema:

Figura 6. Grafico della circonferenza dell'esercizio risolto 2. Fonte: F. Zapata utilizzando la calcolatrice grafica online Mathway.
Passaggio 2: determinare i segmenti da utilizzare nel teorema delle stringhe

I segmenti da utilizzare sono le corde CD e AB, secondo la figura 6, entrambi sono tagliati nel punto P, quindi:

CP. PD = AP. PB

Ora troveremo la distanza tra i punti O e P, poiché questo ci darà la lunghezza del segmento OP. Se aggiungiamo il raggio a questa lunghezza, avremo il segmento CP.

La distanza dOPERAZIONE tra due punti di coordinate (x1,Y1) e (xDue,YDue) è:

dOPERAZIONEDue = OPDue = (xDue - X1)Due + (YDue - Y1)Due = (3- 17/2)Due + (7/7/2)Due = 121/4 + 49/4 = 170/4

dOPERAZIONE = OP = √170 / 2

Con tutti i risultati ottenuti, più il grafico, costruiamo il seguente elenco di segmenti (vedi figura 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = lunghezza della corda

Sostituendo nel teorema delle stringhe:

CP. PD = AP. PB = [(13 + √170 / 2). (13 -√170 / 2)] = APDue

[169 -170/4] = APDue

253/2 = APDue

AP = √ (253/2)

La lunghezza dell'accordo è 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Il lettore potrebbe risolvere il problema in un altro modo?

Riferimenti

  1. Baldor, A. 2004. Geometria del piano e dello spazio con la trigonometria. Publicaciones Cultural S.A. de C.V. Messico.
  2. C-K12. Lunghezza di un accordo. Estratto da: ck12.org.
  3. Escobar, J. The Circumference. Estratto da: matematicas.udea.edu.co.
  4. Villena, M. Cónicas. Recupero da: dspace.espol.edu.ec.
  5. Wikipedia. Corda (geometria). Estratto da: es.wikipedia.org.

Nessun utente ha ancora commentato questo articolo.