UN quadrilatero è un poligono con quattro lati e quattro vertici. Loro lati opposti sono quelli che non hanno vertici in comune, mentre lo sono lati consecutivi quelli con un vertice comune.
In un quadrilatero lo sono angoli adiacenti quelli che condividono un lato, mentre il angoli opposti non hanno lati in comune. Un'altra caratteristica importante di un quadrilatero è la somma dei suoi quattro angoli interni è il doppio dell'angolo del piano, ovvero 360º o 2π radianti.
Diagonali sono i segmenti che uniscono un vertice con il suo opposto e in un dato quadrilatero, da ogni vertice si può trarre un'unica diagonale. Il numero totale di diagonali in un quadrilatero è due.
I quadrilateri sono figure note all'umanità sin dall'antichità. I documenti archeologici, così come le costruzioni che sopravvivono oggi, lo attestano..
Allo stesso modo, oggi i quadrilateri continuano ad avere una presenza importante nella vita quotidiana di tutti. Il lettore può trovare questo modulo sullo schermo in cui il testo viene letto in questo preciso momento, su finestre, porte, parti di automobili e innumerevoli altri posti..
Indice articolo
Secondo il parallelismo dei lati opposti, i quadrilateri sono classificati come segue:
A loro volta, i parallelogrammi possono essere classificati in base ai loro angoli e lati come segue:
Il trapezio è un quadrilatero convesso con due lati paralleli.
- In un trapezio vengono chiamati i lati paralleli basi e si chiamano i non paralleli laterale.
- Il altezza di un trapezio è la distanza tra le due basi, cioè la lunghezza di un segmento con estremità alle basi e perpendicolare ad esse. Questo segmento è anche chiamato altezza del trapezio..
- Il mediano è il segmento che unisce i punti medi delle laterali. Si può dimostrare che la mediana è parallela alle basi del trapezio e la sua lunghezza è uguale alla semi-somma delle basi.
- L'area di un trapezio è la sua altezza moltiplicata per la semi-somma delle basi:
Area di un trapezio = altezza * (base 1 + base 2) / 2
-Trapezio rettangolo: È quello con un laterale perpendicolare alle basi. Questo laterale è anche l'altezza del trapezio.
-Trapezio isoscele: Quello con i lati di uguale lunghezza. In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alle basi sono uguali.
-Trapezio scaleno: Quello con i suoi lati di diverse lunghezze. I suoi angoli opposti possono essere uno acuto e l'altro ottuso, ma può anche accadere che entrambi siano ottusi o entrambi acuti..
Il parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a due a due. In un parallelogramma gli angoli opposti sono uguali e gli angoli adiacenti sono supplementari, o in altre parole, gli angoli adiacenti si sommano fino a 180º.
Se un parallelogramma ha un angolo retto, lo saranno anche tutti gli altri angoli e verrà chiamata la figura risultante rettangolo. Ma se il rettangolo ha anche i suoi lati adiacenti della stessa lunghezza, allora tutti i suoi lati sono uguali e la figura risultante è un piazza.
Quando un parallelogramma ha due lati adiacenti della stessa lunghezza, tutti i suoi lati avranno la stessa lunghezza e la figura risultante è un diamante.
L'altezza di un parallelogramma è un segmento con le estremità sui lati opposti e perpendicolari a loro..
L'area di un parallelogramma è il prodotto della base per la sua altezza, essendo la base un lato perpendicolare all'altezza (figura 6).
Area di un parallelogramma = base x altezza = a. h
Il quadrato della diagonale che parte da un vertice è uguale alla somma dei quadrati dei due lati adiacenti a detto vertice più il doppio prodotto di quei lati per il coseno dell'angolo di quel vertice:
FDue = aDue + dDue + 2 a d Cos (α)
Il quadrato della diagonale opposta al vertice di un parallelogramma è uguale alla somma dei quadrati dei due lati adiacenti a detto vertice e sottraendo il doppio prodotto di quei lati per il coseno dell'angolo di quel vertice:
gDue = aDue + dDue - 2 a d Cos (α)
In ogni parallelogramma la somma dei quadrati dei suoi lati è uguale alla somma dei quadrati delle diagonali:
perDue + bDue + cDue + dDue = fDue + gDue
Il rettangolo è un quadrilatero con i lati opposti paralleli a due a due e che ha anche un angolo retto. In altre parole, il rettangolo è un tipo di parallelogramma con un angolo retto. Per essere parallelogramma, il rettangolo ha lati opposti di uguale lunghezza a = ce b = d.
Ma come in ogni parallelogramma gli angoli adiacenti sono supplementari e gli angoli opposti uguali, nel rettangolo perché ha un angolo retto, formerà necessariamente angoli retti negli altri tre angoli. Vale a dire in un rettangolo tutti gli angoli interni misurano 90º o π / 2 radianti.
In un rettangolo le diagonali sono di uguale lunghezza, come verrà dimostrato di seguito. Il ragionamento è il seguente; Un rettangolo è un parallelogramma con tutti i suoi angoli retti e quindi eredita tutte le proprietà del parallelogramma, compresa la formula che dà la lunghezza delle diagonali:
FDue = aDue+ dDue + 2 a d Cos (α)
gDue = aDue + dDue - 2 a d Cos (α)
con α = 90º
Che cosa Cos (90º) = 0, allora succede che:
FDue = gDue = aDue + dDue
Questo è f = g, e quindi le lunghezze F Y g delle due diagonali del rettangolo sono uguali e la loro lunghezza è data da:
Lunghezza diagonali di un rettangolo = √ (aDue + bDue)
Inoltre, se in un rettangolo con lati adiacenti per Y b un lato è preso come base, l'altro lato sarà l'altezza e di conseguenza l'area del rettangolo sarà:
Area del rettangolo = a x b.
Il perimetro è la somma di tutti i lati del rettangolo, ma poiché gli opposti sono uguali ne consegue che per un rettangolo con lati per Y b il perimetro è dato dalla seguente formula:
Perimetro del rettangolo = 2 (a + b)
Il quadrato è un rettangolo con i lati adiacenti della stessa lunghezza. Se il quadrato ha un lato per, poi le sue diagonali F Y g avere la stessa lunghezza, che è f = g = (√2) a.
L'area di un quadrato è il suo lato quadrato:
Area di un quadrato = aDue
Il perimetro di un quadrato è il doppio del lato:
Perimetro di un quadrato = 4 a
Il rombo è un parallelogramma con i suoi lati adiacenti della stessa lunghezza, ma come in un parallelogramma i lati opposti sono uguali quindi, tutti i lati di un rombo sono uguali in lunghezza.
Le diagonali di un rombo sono di lunghezza diversa, ma si intersecano ad angolo retto.
Mostra che in un quadrilatero (non incrociato) gli angoli interni si sommano fino a 360º.
Si considera un quadrilatero ABCD (vedi figura 10) e si disegna la diagonale BD. Si formano due triangoli ABD e BCD. La somma degli angoli interni del triangolo ABD è:
α + β1 + δ1 = 180º
E la somma degli angoli interni del triangolo BCD è:
β2 + γ + δDue = 180º
Sommando le due equazioni otteniamo:
α + β1 + δ1 + βDue + γ + δDue = 180º + 180º
Raggruppamento:
α + (β1 + βDue) + (δ1 + δDue) + γ = 2 * 180º
Raggruppando e rinominando, è finalmente dimostrato che:
α + β + δ + γ = 360º
Mostra che la mediana di un trapezio è parallela alle sue basi e la sua lunghezza è la semi-somma delle basi.
La mediana di un trapezio è il segmento che unisce i punti medi dei suoi lati, cioè i lati non paralleli. Nel trapezio ABCD mostrato in figura 11 la mediana è MN.
Poiché M è il punto medio di AD e N è il punto medio di BC, è vero che i rapporti AM / AD e BN / BC sono uguali.
Cioè, AM è proporzionale a BN nella stessa proporzione di AD è a BC, quindi sono date le condizioni per l'applicazione del teorema (reciproco) di Talete che afferma quanto segue:
"Se i segmenti proporzionali sono determinati in tre o più linee tagliate da due secanti, allora queste linee sono tutte parallele".
Nel nostro caso si conclude che le linee MN, AB e DC sono parallele tra loro, quindi:
"Lla mediana di un trapezio è parallela alle sue basi".
Ora verrà applicato il teorema di Talete:
"Un insieme di paralleli tagliati da due o più secanti determina i segmenti proporzionali".
Nel nostro caso AD = 2 AM, AC = 2 AO, quindi il triangolo DAC è simile al triangolo MAO, e di conseguenza DC = 2 MO.
Un argomento simile ci permette di affermare che CAB è simile a CON, dove CA = 2 CO e CB = 2 CN. Ne consegue immediatamente che AB = 2 ON.
In breve, AB = 2 ON e DC = 2 MO. Quindi quando aggiungiamo abbiamo:
AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN
Alla fine MN viene cancellato:
MN = (AB + DC) / 2
E si conclude che la mediana di un trapezio misura la semi-somma delle basi, o in altre parole: la mediana misura la somma delle basi, divisa per due.
Mostra che in un rombo le diagonali si intersecano ad angolo retto.
La lavagna in figura 12 mostra la costruzione necessaria. Per prima cosa si disegna il parallelogramma ABCD con AB = BC, cioè un rombo. Le diagonali AC e DB determinano gli otto angoli mostrati nella figura.
Usando il teorema (a.i.p.) che afferma che angoli interni alternati tra paralleli tagliati da una secante determinano angoli uguali, possiamo stabilire quanto segue:
α1 = γ1, α2 = γ2, δ1 = Β1 e δ2 = β2. (*)
D'altra parte, poiché i lati adiacenti di un rombo sono di uguale lunghezza, vengono determinati quattro triangoli isosceli:
DAB, BCD, CDA e ABC
Ora viene invocato il teorema del triangolo (isoscele), che afferma che gli angoli adiacenti alla base sono di uguale misura, da cui si conclude che:
δ1 = β2, δ2 = β1, α2 = γ1 e α1 = γ2 (**)
Se le relazioni (*) e (**) sono combinate, si raggiunge la seguente uguaglianza angolare:
α1 = α2 = γ1 = γ1 da un lato e β1 = Β2 = δ1 = δ2 dall'altro.
Ricordando il teorema dei triangoli uguali che afferma che due triangoli con un lato uguale tra due angoli uguali sono uguali, abbiamo:
AOD = AOB e di conseguenza anche gli angoli ∡AOD = ∡AOB.
Allora ∡AOD + ∡AOB = 180º, ma poiché entrambi gli angoli sono di uguale misura, abbiamo 2 ∡AOD = 180º che implica che ∡AOD = 90º.
Cioè, è mostrato geometricamente che le diagonali di un rombo si intersecano ad angolo retto.
Mostra che in un trapezio retto, gli angoli non retti sono supplementari.
Il trapezio ABCD è costruito con basi AB e DC parallele. L'angolo interno del vertice A è retto (misura 90º), quindi abbiamo un trapezio retto.
Gli angoli α e δ sono angoli interni tra due paralleli AB e DC, quindi sono uguali, cioè δ = α = 90º.
D'altra parte, è stato dimostrato che la somma degli angoli interni di un quadrilatero si somma a 360º, ovvero:
α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.
Quanto sopra porta a:
β + δ = 180º
A conferma di quanto si voleva dimostrare, che gli angoli β e δ sono supplementari.
Un parallelogramma ABCD ha AB = 2 cm e AD = 1 cm, inoltre l'angolo BAD è 30º. Determina l'area di detto parallelogramma e la lunghezza delle sue due diagonali.
L'area di un parallelogramma è il prodotto della lunghezza della sua base per la sua altezza. In questo caso si prenderà come base la lunghezza del segmento b = AB = 2 cm, l'altro lato avrà lunghezza a = AD = 1 cm e l'altezza h sarà calcolata come segue:
h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.
Quindi: Area = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cmDue.
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