È compreso da insieme infinito quell'insieme in cui il numero dei suoi elementi è innumerevole. Cioè, non importa quanto sia grande il numero dei suoi elementi, è sempre possibile trovarne di più.
L'esempio più comune di un insieme infinito è quello dei numeri naturali N. Non importa quanto sia grande il numero, dal momento che puoi sempre ottenerne uno più grande in un processo che non ha fine:
N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ..., 41, 42, 43,…., 100, 101,…, 126, 127, 128,…
L'insieme delle stelle nell'universo è sicuramente immenso, ma non si sa con certezza se sia finito o infinito. In contrasto con il numero di pianeti nel sistema solare che è noto per essere un insieme finito.
Indice articolo
Tra le proprietà degli insiemi infiniti possiamo segnalare quanto segue:
1- L'unione di due insiemi infiniti dà origine a un nuovo insieme infinito.
2- L'unione di un insieme finito con uno infinito dà origine a un nuovo insieme infinito.
3- Se il sottoinsieme di un dato insieme è infinito, anche l'insieme originale è infinito. L'affermazione reciproca non è vera.
Non è possibile trovare un numero naturale in grado di esprimere la cardinalità o il numero di elementi di un insieme infinito. Tuttavia, il matematico tedesco Georg Cantor ha introdotto il concetto di un numero transfinito per riferirsi a un numero ordinale infinito maggiore di qualsiasi numero naturale..
L'esempio più frequente di un insieme infinito è quello dei numeri naturali. I numeri naturali sono quelli usati per contare, tuttavia i numeri interi che possono esistere sono innumerevoli.
L'insieme dei numeri naturali non include lo zero ed è comunemente indicato come l'insieme N, che è ampiamente espresso come segue:
N = 1, 2, 3, 4, 5,…. Ed è chiaramente un insieme infinito.
I puntini di sospensione vengono utilizzati per indicare che dopo un numero, ne segue un altro e poi un altro in un processo infinito o infinito.
L'insieme di numeri naturali unito all'insieme che contiene il numero zero (0) è noto come l'insieme N+.
N+ = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Che è il risultato dell'unione dell'insieme infinito N con l'insieme finito O = 0, risultante nell'insieme infinito N+.
L'insieme di numeri interi Z È composto dai numeri naturali, dai numeri naturali con segno negativo e zero.
Numeri interi Z sono considerati un'evoluzione rispetto ai numeri naturali N utilizzato originariamente e in modo primitivo nel processo di conteggio.
Nell'insieme numerico Z degli interi, zero è incorporato per non contare o non contare nulla e numeri negativi per contare l'estrazione, la perdita o la mancanza di qualcosa.
Per illustrare l'idea, supponiamo che nel conto bancario sia visualizzato un saldo negativo. Ciò significa che il conto è inferiore a zero e non solo è vuoto ma ha una differenza mancante o negativa, che in qualche modo deve essere sostituita dalla banca..
In forma estesa l'insieme infinito Z degli interi è scritto in questo modo:
Z = …., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…
Nell'evoluzione del processo di conteggio e scambio di cose, beni o servizi compaiono numeri frazionari o razionali.
Ad esempio, quando si scambia mezza pagnotta con due mele, durante la registrazione della transazione, è venuto in mente a qualcuno che la metà dovrebbe essere scritta come una divisa o divisa in due parti: ½. Ma metà della metà del pane sarebbe registrata nei libri mastri come segue: ½ / ½ = ¼.
È chiaro che questo processo di divisione può essere infinito in teoria, sebbene in pratica lo sia fino a quando non si raggiunge l'ultima particella di pane..
L'insieme di numeri razionali (o frazionari) è indicato come segue:
Q = …, -3,…., -2,…, -1,…, 0,…, 1,…, 2,…, 3,…
I puntini di sospensione tra i due numeri interi indicano che tra quei due numeri o valori ci sono infinite partizioni o divisioni. Ecco perché si dice che l'insieme dei numeri razionali è infinitamente denso. Questo perché non importa quanto vicini possano essere due numeri razionali tra loro, è possibile trovare valori infiniti.
Per illustrare quanto sopra, supponiamo che ci venga chiesto di trovare un numero razionale compreso tra 2 e 3. Questo numero può essere 2⅓, che è ciò che è noto come numero misto composto da 2 parti intere più un terzo dell'unità, che è equivalente a scrivere 4/3.
Tra 2 e 2⅓ è possibile trovare un altro valore, ad esempio 2⅙. E tra 2 e 2⅙ è possibile trovare un altro valore, ad esempio 2⅛. Tra questi due un altro, e tra loro un altro, un altro e un altro.
Ci sono numeri che non possono essere scritti come divisione o frazione di due numeri interi. È questo insieme numerico che è noto come l'insieme I dei numeri irrazionali ed è anche un insieme infinito.
Alcuni elementi o rappresentanti degni di nota di questo insieme numerico sono il numero pi (π), il numero di Eulero (e), la sezione aurea o numero aureo (φ). Questi numeri possono essere scritti solo approssimativamente da un numero razionale:
π = 3,1415926535897932384626433832795 ... (e continua all'infinito e oltre ...)
e = 2,7182818284590452353602874713527…. (E continua oltre l'infinito…)
φ = 1,61803398874989484820… (all'infinito… e oltre…)
Altri numeri irrazionali compaiono quando si cerca di trovare soluzioni a equazioni molto semplici, ad esempio l'equazione X ^ 2 = 2 non ha una soluzione razionale esatta. La soluzione esatta è espressa dalla seguente simbologia: X = √2, che si legge x uguale alla radice di due. Un'espressione razionale (o decimale) approssimativa per √2 è:
√2 ≈1,4142135623730950488016887242097.
Ci sono innumerevoli numeri irrazionali, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) per citarne alcuni.
I numeri reali sono l'insieme di numeri più spesso utilizzato nel calcolo matematico, nella fisica e nell'ingegneria. Questo insieme di numeri è l'unione dei numeri razionali Q e numeri irrazionali io:
R = Q O io
Tra gli infiniti set alcuni sono più grandi di altri. Ad esempio, l'insieme dei numeri naturali N è infinito, tuttavia è un sottoinsieme degli interi Z che è anche infinito, quindi l'insieme infinito Z è maggiore dell'insieme infinito N.
Allo stesso modo, l'insieme dei numeri interi Z è un sottoinsieme dei numeri reali R, e quindi l'insieme R è "più infinito" dell'insieme infinito Z.
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