Proprietà delle basi ortonormali, esempi ed esercizi

UN base ortonormale È formato con vettori perpendicolari tra loro e il cui modulo è anche 1 (vettori unitari). Ricordiamolo una base B in uno spazio vettoriale V, è definito come un insieme di vettori linearmente indipendenti in grado di generare detto spazio.

A sua volta, uno spazio vettoriale è un'entità matematica astratta tra i cui elementi sono presenti vettori, generalmente associati a grandezze fisiche come velocità, forza e spostamento o anche a matrici, polinomi e funzioni..

I vettori hanno tre elementi distintivi: magnitudine o modulo, direzione e senso. Una base ortonormale è particolarmente utile per rappresentarli e operare con loro, poiché qualsiasi vettore che appartiene a un certo spazio vettoriale V, può essere scritto come una combinazione lineare dei vettori che formano la base ortonormale.

In questo modo vengono eseguite analiticamente le operazioni tra i vettori, come l'addizione, la sottrazione e le diverse tipologie di prodotti definiti in detto spazio..

Tra le basi più utilizzate in fisica c'è la base formata da vettori unitari io, j Y K Rappresentano le tre direzioni distintive dello spazio tridimensionale: altezza, larghezza e profondità. Questi vettori sono noti anche come vettori unitari canonici.

Se invece i vettori venissero lavorati su un piano, due di queste tre componenti sarebbero sufficienti, mentre per i vettori unidimensionali ne basta una sola.

Indice articolo

• 1 Proprietà delle basi
• 2 Esempi di basi
  • 2.1 La base canonica in ℜ n
  • 2.2 La base canonica su ℜ3
  • 2.3 Altre basi ortonormali in ℜ3
• 3 esercizi risolti
  • 3.1 - Esercizio 1
  • 3.2 - Esercizio 2
• 4 Riferimenti

Proprietà delle basi

1- Una base B è il più piccolo insieme possibile di vettori che generano lo spazio vettoriale V.

2- Gli elementi di B sono linearmente indipendenti.

3- Qualsiasi base B di uno spazio vettoriale V, permette di esprimere tutti i vettori di V come una combinazione lineare di esso e questa forma è unica per ogni vettore. Quindi a B è anche conosciuto come sistema generatore.

4- Lo stesso spazio vettoriale V può avere basi diverse.

Esempi di basi

Ecco alcuni esempi di basi ortonormali e basi in generale:

La base canonica in ℜ ⁿ

Chiamato anche base naturale o base standard di ℜ ⁿ, dove ℜ ⁿ è lo spazio n-dimensionale, per esempio lo spazio tridimensionale è ℜ ³. Al valore di n È chiamato dimensione dello spazio vettoriale ed è indicato come debole (V).

Tutti i vettori appartenenti a ℜ ⁿ sono rappresentati da n-adas ordinato. Per lo spazio ℜⁿ, la base canonica è:

e₁ = <1,0,… ,0>; e_Due = <0,1,… ,0>; ... e_n = <0,0,… ,1>

In questo esempio abbiamo utilizzato la notazione con parentesi o "parentesi" e il grassetto per i vettori unitari e₁, e_Due, e₃...

La base canonica in ℜ³

I vettori familiari io, j Y K ammettere questa stessa rappresentazione e tutte e tre sono sufficienti per rappresentare i vettori in ℜ ³:

io = <1,0,0 >; j = <0,1,0 >;  K = <0,0,1 >

Significa che la base può essere espressa così:

B = <1,0,0 >; <0,1,0 >;  <0,0,1 >

Per verificare che siano linearmente indipendenti, il determinante formato con loro è diverso da zero e anche uguale a 1:

Dovrebbe anche essere possibile scrivere qualsiasi vettore che appartiene a ℜ ³ come una combinazione lineare di essi. Ad esempio, una forza le cui componenti rettangolari sono F_X = 4 N, F_Y = -7 N e F_z= 0 N sarebbe scritto in forma vettoriale in questo modo:

F = <4,-7,0 > N = 4io -7j + 0K N.

Perciò io, j Y K compongono un sistema generatore di ℜ ³.

Altre basi ortonormali in ℜ³

La base standard descritta nella sezione precedente non è l'unica base ortonormale in ℜ³. Qui abbiamo ad esempio le basi:

B₁ = ; <- sen θ, cos θ,0 >;  <0,0,1 >

B_Due = <3/5, 4/5,0 >; <- 4/5, 3/5,0 >;  <0,0,1 >

Si può dimostrare che queste basi sono ortonormali, per questo ricordiamo le condizioni che devono essere soddisfatte:

-I vettori che formano la base devono essere ortogonali tra loro.

-Ciascuno di loro deve essere unitario.

Possiamo verificarlo sapendo che il determinante formato da loro deve essere diverso da zero e uguale a 1.

Base B₁ è proprio quello delle coordinate cilindriche ρ, φ e z, un altro modo di esprimere i vettori nello spazio.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Mostra che la base B = <3/5, 4/5,0 >; <- 4/5, 3/5,0 >;  <0,0,1 > è ortonormale.

Soluzione

Per mostrare che i vettori sono perpendicolari tra loro, useremo il prodotto scalare, chiamato anche prodotto interno o punto di due vettori.

Siano due vettori qualsiasi o Y v, il suo prodotto scalare è definito da:

o • v = u.v. cosθ

Per distinguere i vettori dei loro moduli useremo il grassetto per i primi e le lettere normali per i secondi. θ è l'angolo tra o Y v, quindi se sono perpendicolari, significa che θ = 90º e il prodotto scalare è zero.

In alternativa, se i vettori sono dati in termini di loro componenti: o = X, o_Y,o_z > e v = X, v_Y,v_z >, il prodotto scalare di entrambi, che è commutativo, viene calcolato come segue:

o • v = o_X .v_X + o_Y .v_Y + o_z .v_z

In questo modo, i prodotti scalari tra ciascuna coppia di vettori sono, rispettivamente:

io) <3/5, 4/5,0 > • <- 4/5, 3/5,0 > = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3/5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4/5,0 > • <0, 0,1 > = 0

iii) <- 4/5, 3/5,0 > • <0, 0,1 > = 0

Per la seconda condizione si calcola il modulo di ogni vettore, che si ottiene da:

│u │ = √ (u_X^Due + o_Y^Due + o_z^Due)

Pertanto, i moduli di ciascun vettore sono:

│<3/5, 4/5,0 >│ = √ [(3/5)^Due + (4/5)^Due  + 0^Due)] = √ [(9/25) + (16/25)] = √ (25/25) = 1

│<-4/5, 3/5,0 >│ = √ [(-4/5)^Due + (3/5)^Due  + 0^Due)] = √ [(16/25) + (9/25)] = √ (25/25) = 1

│<0, 0,1 >│ = √ [0^Due + 0^Due  + 1^Due)] = 1

Quindi tutti e tre sono vettori unitari. Infine, il determinante che formano è diverso da zero e uguale a 1:

- Esercizio 2

Scrivi le coordinate del vettore w = <2, 3,1 > in termini di vecchia base.

Soluzione

Per fare ciò, viene utilizzato il seguente teorema:

Sia B = v₁, v_Due, v₃,... v_n una base ortonormale nello spazio V con prodotto interno, il vettore w è rappresentato da B come segue:

w = <w•v₁> v₁ + <w•v_Due> v_Due +<w•v₃> v₃ +... <w•v_n> v_n

Ciò significa che possiamo scrivere il vettore in base B, utilizzando i coefficienti <w•v₁>, <w•v_Due>, ...  <w•v_n>, per cui devono essere calcolati i prodotti scalari indicati:

<2, 3,1 > • <3/5, 4/5,0 > = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12/5) = 18/5

<2, 3,1 > • <- 4/5, 3/5,0 > = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1 > • <0,0,1> = 1

Con i prodotti scalari ottenuti, viene costruita una matrice, chiamata matrice di coordinate di w.

Quindi le coordinate del vettore w in base B sono espressi da:

[w]_B= [(5/18); (1/5); 1]

La matrice delle coordinate non è il vettore, poiché un vettore Non è lo stesso delle sue coordinate. Questi sono solo un insieme di numeri che servono per esprimere il vettore in una data base, non il vettore in quanto tale. Dipendono anche dalla base selezionata.

Infine, seguendo il teorema, il vettore w sarebbe espresso in questo modo:

w = (18/5) v₁ + (1/5) v_Due + v₃

Con: v₁ = <3/5, 4/5,0 >; v_Due = <- 4/5, 3/5,0 >; v₃ =  <0,0,1 >, cioè i vettori della base B.

Riferimenti

1. Larson, R. Fondamenti di algebra lineare. 6 °. Edizione. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7 °. Edizione. Volume 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Algebra lineare. Unità 10. Basi ortonormali. Recupero da: ocw.uc3m.es.
4. Università di Siviglia. Coordinate cilindriche. Base vettoriale. Recupero da: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Base ortonormale. Estratto da: es.wikipedia.org.