UN antiderivativo F (x) di una funzione F(x) è anche chiamato primitivo o semplicemente integrale indefinito di detta funzione, se in un dato intervallo io, È vero che F '(x) = f (x)
Ad esempio, prendiamo la seguente funzione:
f (x) = 4x3
Un antiderivativo di questa funzione è F (x) = x4, da quando derivando F (x) mediante la regola di derivazione per le potenze:
Otteniamo precisamente f (x) = 4x3.
Tuttavia, questo è solo uno dei tanti antiderivativi di f (x), poiché quest'altra funzione: G (x) = x4 + 2 è anche, perché differenziando G (x) rispetto a x, lo stesso si ottiene indietro f (x).
Controlliamolo:
Ricorda che la derivata di una costante è 0. Quindi il termine x4 puoi aggiungere qualsiasi costante e la sua derivata rimarrà 4x3.
Si conclude che qualsiasi funzione della forma generale F (x) = x4 + C, dove C è una costante reale, funge da antiderivativa di f (x).
L'esempio illustrativo sopra può essere espresso in questo modo:
dF (x) = 4x3 dx
L'integrale antiderivativo o indefinito si esprime con il simbolo ∫, quindi:
F (x) = ∫4x3 dx = x4 + C
Dove la funzione f (x) = 4x3 è chiamato integrando, e C è il costante di integrazione.
Indice articolo
Trovare un antiderivativo di una funzione è semplice in alcuni casi in cui le derivate sono ben note. Ad esempio, sia la funzione f (x) = sin x, antiderivativa perché è un'altra funzione F (x), tale che differenziandola si ottiene f (x).
Quella funzione può essere:
F (x) = - cos x
Controlliamo che sia vero:
F '(x) = (- cos x)' = - (-sen x) = sin x
Quindi possiamo scrivere:
∫sen x dx = -cos x + C
Oltre a conoscere le derivate, ci sono alcune regole di integrazione basilari e semplici per trovare l'integrale antiderivativo o indefinito.
Sia k una costante reale, quindi:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
Due.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Se una funzione h (x) può essere espressa come addizione o sottrazione di due funzioni, il suo integrale indefinito è:
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Questa è la proprietà della linearità.
Il regola dei poteri per gli integrali può essere impostato in questo modo:
Per il caso di n = -1 viene utilizzata la seguente regola:
5.- ∫X -1 dx = ln x + C
È facile dimostrare che il derivato di ln x è proprio X -1.
Un'equazione differenziale è quella in cui l'ignoto si trova come derivato.
Ora, dall'analisi precedente, è facile rendersi conto che l'operazione inversa alla derivata è l'integrale antiderivativo o indefinito.
Sia f (x) = y '(x), cioè la derivata di una certa funzione. Possiamo usare la seguente notazione per indicare questa derivata:
Ne consegue immediatamente che:
dy = f (x) dx
L'incognita dell'equazione differenziale è la funzione y (x), quella la cui derivata è f (x). Per risolverlo, l'espressione precedente è integrata su entrambi i lati, il che equivale ad applicare l'antiderivativo:
∫dy = ∫f (x) dx
L'integrale di sinistra viene risolto dalla regola di integrazione 1, con k = 1, risolvendo così l'incognita desiderata:
y (x) = ∫f (x) dx = F (x) + C
E poiché C è una costante reale, per sapere quale è appropriata in ogni caso, l'affermazione deve contenere informazioni aggiuntive sufficienti per calcolare il valore di C.Questo è chiamato condizione iniziale.
Vedremo esempi di applicazione di tutto questo nella prossima sezione.
Applicare le regole di integrazione per ottenere i seguenti integrali antiderivativi o indefiniti delle funzioni date, semplificando il più possibile i risultati. È conveniente verificare il risultato per derivazione.
Applichiamo prima la regola 3, poiché l'integrando è la somma di due termini:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
Per il primo integrale si applica la regola dei poteri:
∫ xdx = (xDue / 2) + C1
La regola 1 si applica al secondo integrale, dove k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + CDue
E ora i risultati vengono aggiunti. Le due costanti sono raggruppate in una, chiamata genericamente C:
∫ (x + 7) dx = (xDue / 2) + 7x + C
Per linearità, questo integrale viene scomposto in tre integrali più semplici, ai quali verrà applicata la regola della potenza:
∫ (x3/2 + XDue + 6) dx = ∫x3/2 dx + ∫xDue dx + ∫6 dx =
Si noti che una costante di integrazione appare per ogni integrale, ma si incontrano in una singola chiamata C.
In questo caso, è conveniente applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione per sviluppare l'integrando. Quindi la regola della potenza viene utilizzata per trovare ogni integrale separatamente, come nell'esercizio precedente.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3xDue-2x + 3x-2) dx = ∫ (3xDue + x - 2) dx
Il lettore attento osserverà che i due termini centrali sono simili, quindi si riducono prima di integrarsi:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3xDue dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x3 + (1/2) xDue - 2x + C
Un modo per risolvere l'integrale sarebbe sviluppare la potenza, come è stato fatto nell'esempio d. Tuttavia, poiché l'esponente è maggiore, sarebbe opportuno modificare la variabile, in modo da non dover fare uno sviluppo così lungo.
Il cambio di variabile è il seguente:
u = x + 7
Derivando questa espressione da entrambe le parti:
du = dx
L'integrale viene trasformato in uno più semplice con la nuova variabile, che viene risolta con la regola del potere:
∫ (x + 7)5 dx = ∫ u5 du = (1/6) u6 + C
Infine la modifica viene restituita per tornare alla variabile originale:
∫ (x + 7)5 dx = (1/6) (x + 7)6 + C
Una particella è inizialmente a riposo e si muove lungo l'asse x. La sua accelerazione per t> 0 è data dalla funzione a (t) = cos t. È noto che per t = 0, la posizione è x = 3, tutto in unità del Sistema Internazionale. Viene chiesto di trovare la velocità v (t) e la posizione x (t) della particella.
Poiché l'accelerazione è la prima derivata della velocità rispetto al tempo, abbiamo la seguente equazione differenziale:
a (t) = v '(t) = cos t
Ne consegue che:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C1
D'altra parte sappiamo che la velocità è a sua volta la derivata della posizione, quindi integriamo nuovamente:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C1) dt = ∫sen t dt + ∫C1 dt = - cos t + C1 t + CDue
Le costanti di integrazione sono determinate dalle informazioni fornite nella dichiarazione. Innanzitutto, dice che la particella era inizialmente a riposo, quindi v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C1 = 0
C1 = 0
Allora abbiamo che x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C1 0 + CDue = - 1 + CDue = 3 → CDue = 3 + 1 = 4
Le funzioni di velocità e posizione sono decisamente così:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
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