Il velocità areolare è l'area spazzata per unità di tempo ed è costante. È specifico per ogni pianeta e deriva dalla descrizione della seconda legge di Keplero in forma matematica. In questo articolo spiegheremo cos'è e come viene calcolato.
Il boom che rappresenta la scoperta di pianeti al di fuori del sistema solare ha ravvivato l'interesse per il moto planetario. Nulla suggerisce che questi eso-pianeti seguano leggi diverse da quelle già note e valide nel sistema solare: le leggi di Keplero..
Johannes Kepler è stato l'astronomo che, senza l'aiuto del telescopio e utilizzando le osservazioni del suo mentore Tycho Brahe, ha creato un modello matematico che descrive il movimento dei pianeti attorno al Sole..
Ha lasciato questo modello incarnato nelle tre leggi che portano il suo nome e che rimangono valide oggi come nel 1609, quando ha stabilito le prime due e nel 1618, data in cui ha enunciato la terza..
Indice articolo
Nel linguaggio di oggi, le tre leggi di Keplero si leggono così:
1. Le orbite di tutti i pianeti sono ellittiche e il Sole è a fuoco.
2. Il vettore di posizione dal Sole a un pianeta percorre aree uguali in tempi uguali.
3. Il quadrato del periodo orbitale di un pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse descritta..
Un pianeta avrà una velocità lineare, proprio come qualsiasi oggetto in movimento conosciuto. E c'è anche di più: scrivendo la seconda legge di Keplero in forma matematica, nasce un nuovo concetto chiamato velocità areolare, tipico di ogni pianeta..
La Terra e gli altri pianeti si muovono attorno al Sole grazie al fatto che su di essi esercita una forza: l'attrazione gravitazionale. Lo stesso accade con qualsiasi altra stella e con i pianeti che compongono il suo sistema, se li possiede..
Questa è una forza del tipo noto come forza centrale. Il peso è una forza centrale che tutti conoscono. L'oggetto che esercita la forza centrale, sia esso il Sole o una stella lontana, attrae i pianeti verso il suo centro e si muovono in una curva chiusa.
In linea di principio, questa curva può essere approssimata come una circonferenza, come ha fatto Nicolás Copernicus, un astronomo polacco che ha creato la teoria eliocentrica..
La forza responsabile è l'attrazione gravitazionale. Questa forza dipende direttamente dalle masse della stella e del pianeta in questione ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa..
Il problema non è così semplice, perché in un sistema solare tutti gli elementi interagiscono in questo modo, aggiungendo complessità alla materia. Inoltre, non sono particelle, poiché stelle e pianeti hanno dimensioni misurabili..
Per questo motivo, il punto centrale dell'orbita o del circuito percorso dai pianeti non è esattamente centrato sulla stella, ma in un punto noto come centro di gravità del sistema sole-pianeta..
L'orbita risultante è ellittica. L'immagine seguente lo mostra, prendendo come esempio la Terra e il Sole:
L'afelio è la posizione più lontana dalla Terra dal Sole, mentre il perielio è il punto più vicino. L'ellisse può essere più o meno appiattita, a seconda delle caratteristiche del sistema stella-pianeta..
I valori dell'afelio e del perielio variano ogni anno, poiché gli altri pianeti causano disturbi. Per altri pianeti, queste posizioni sono chiamate rispettivamente apoaster e periaster..
Keplero ha scoperto che quando un pianeta orbita attorno al Sole, durante il suo movimento spazza aree uguali in tempi uguali. La Figura 2 mostra graficamente il significato di questo:
Matematicamente, il fatto che A1 essere uguale ad ADue si esprime così:
Gli archi percorsi Δs sono piccoli, in modo che ogni area possa approssimarsi a quella di un triangolo:
Poiché Δs =vΔt, dove v è la velocità lineare del pianeta in un dato punto, sostituendo abbiamo:
E poiché l'intervallo di tempo Δt è lo stesso, otteniamo:
Come rDue > r1, quindi v1 > vDue, in altre parole, la velocità lineare di un pianeta non è costante. In effetti, la Terra va più veloce quando è nel perielio rispetto a quando è nell'afelio..
Pertanto la velocità lineare della Terra o di qualsiasi pianeta attorno al Sole non è una grandezza che serve a caratterizzare il movimento di detto pianeta..
La seconda legge di Keplero suggerisce una nuova grandezza chiamata velocità areolare. È definita come l'area spazzata per unità di tempo ed è costante. Per calcolarlo, viene utilizzata la seguente figura:
Una piccola area spazzata dalla Terra viene scelta durante la realizzazione del suo circuito ellittico, che indicheremo come ΔA. Il tempo richiesto per questo è Δt.
La figura 3 mostra il vettore di posizione della Terra rispetto al Sole, indicato con r. Quando la Terra si muove, subisce uno spostamento Δr.
Quest'area corrisponde alla metà dell'area del rettangolo mostrato nella figura 3:
Il quoziente Δr / Δt è precisamente la velocità lineare della Terra, quindi la velocità areolare è come:
Le unità di vPER nel Sistema Internazionale sono:
Si noti che sebbene sia r che v variano, il prodotto rimane costante. Ciò rende la velocità areolare una grandezza molto adeguata per caratterizzare il movimento di un pianeta attorno alla sua stella..
Il prodotto di r e v è l'ampiezza del momento angolare L, in modo che la velocità areolare possa essere espressa come:
Con il seguente esempio mostreremo come calcolare la velocità areolare quando sono noti alcuni parametri del moto planetario:
Un eso-pianeta si muove intorno al suo sole seguendo un'orbita ellittica, secondo le leggi di Keplero. Quando è nel periaster, il suo raggio vettore è r1 = 4 107 km, e quando è in apoastro è rDue = 15 107 km. La velocità lineare al suo periaster è v1 = 1000 km / s.
Calcolare:
A) L'entità della velocità all'apoastro.
B) La velocità areolare del pianeta eso.
C) La lunghezza del semiasse maggiore dell'ellisse.
L'equazione viene utilizzata:
in cui vengono sostituiti valori numerici.
Ogni termine è identificato come segue:
v1 = velocità in apoastro; vDue = velocità nel periaster; r1= distanza da apoastro,
rDue= distanza dal periaster.
Con questi valori ottieni:
L'equazione da usare è
in cui la coppia di valori r e v del periaster o dell'apaster può essere sostituita, poiché vPER è una costante del pianeta:
Risposta C)
La lunghezza del semiasse maggiore dell'ellisse è il semisum dell'apoaster e del periaster:
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