Il velocità angolare è una misura della velocità di rotazione ed è definita come l'angolo di rotazione del vettore di posizione dell'oggetto rotante, per unità di tempo. È una grandezza che descrive molto bene il movimento di una moltitudine di oggetti che ruotano costantemente ovunque: CD, ruote di automobili, macchinari, la Terra e molti altri..
Un diagramma del "London Eye" può essere visto nella figura seguente. Rappresenta il movimento di un passeggero rappresentato dal punto P, che segue il percorso circolare, denominato c:
Il passeggero occupa la posizione P all'istante te la posizione angolare corrispondente a quell'istante è ϕ.
Dall'istante t trascorre un periodo di tempo Δt. In questo periodo la nuova posizione del passeggero puntuale è P 'e la posizione angolare è aumentata di un angolo Δϕ.
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Per le quantità rotazionali, le lettere greche sono ampiamente utilizzate per differenziarle dalle quantità lineari. Quindi inizialmente definiamo la velocità angolare media ωm come l'angolo percorso in un dato periodo di tempo.
Allora il quoziente Δϕ / Δt rappresenterà la velocità angolare media ωm tra i tempi t e t + Δt.
Se vuoi calcolare il velocità angolare proprio all'istante t, allora dovremo calcolare il quoziente Δϕ / Δt quando Δt ➡0:
Velocità lineare v, è il quoziente tra la distanza percorsa e il tempo impiegato per percorrerla.
Nella figura sopra, l'arco percorso è Δs. Ma quell'arco è proporzionale all'angolo percorso e al raggio, essendo soddisfatta la seguente relazione, che è valida fintanto che Δϕ è misurato in radianti:
Δs = r ・ Δϕ
Se dividiamo l'espressione precedente per il lasso di tempo Δt e prendiamo il limite quando Δt ➡0, otterremo:
v = r ・ ω
Un movimento rotatorio è uniforme se in qualsiasi istante osservato, l'angolo percorso è lo stesso nello stesso periodo di tempo.
Se la rotazione è uniforme, la velocità angolare in qualsiasi istante coincide con la velocità angolare media.
Inoltre, quando si effettua una svolta completa, l'angolo percorso è 2π (equivalente a 360º). Pertanto, in una rotazione uniforme, la velocità angolare ω è correlata al periodo T, dalla seguente formula:
f = 1 / T
In altre parole, in una rotazione uniforme, la velocità angolare è correlata alla frequenza da:
ω = 2π ・ f
Le cabine del grande filatoio noto come "Occhio di Londra"Si muovono lentamente. La velocità delle cabine è di 26 cm / se la ruota ha un diametro di 135 m.
Con questi dati calcola:
i) La velocità angolare della ruota
ii) La frequenza di rotazione
iii) Il tempo impiegato da una cabina per compiere un giro completo.
Risposte:
io) La velocità v in m / s è: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.
Il raggio è la metà del diametro: r = (135 m) / 2 = 67,5 m
v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s
ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10-4 giri / i
f = 6,13 x 10 ^ -4 giri / s = 0,0368 giri / min = 2,21 giri / ora.
iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 giro / ora = 0,45311 ora = 27 min 11 sec
Una macchinina si muove su una pista circolare con un raggio di 2 m. A 0 s la sua posizione angolare è 0 rad, ma dopo un tempo t la sua posizione angolare è data da:
φ (t) = 2 ・ t
Determinare:
i) La velocità angolare
ii) La velocità lineare in qualsiasi istante.
Risposte:
io) La velocità angolare è la derivata della posizione angolare: ω = φ '(t) = 2.
Cioè, la macchinina ha sempre una velocità angolare costante pari a 2 rad / s.
ii) La velocità lineare dell'auto è: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 Km / h
La stessa macchina dell'esercizio precedente inizia a fermarsi. La sua posizione angolare in funzione del tempo è data dalla seguente espressione:
φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ tDue
Determinare:
i) La velocità angolare in qualsiasi istante
ii) La velocità lineare in qualsiasi istante
iii) Il tempo necessario per fermarsi dal momento in cui inizia a decelerare
iv) L'angolo percorso
v) distanza percorsa
Risposte:
io) La velocità angolare è la derivata della posizione angolare: ω = φ '(t)
ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ tDue) '= 2 - t
ii) La velocità lineare dell'auto in ogni istante è data da:
v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4-2 t
iii) Il tempo necessario per fermarsi dal momento in cui inizia a decelerare, è determinato conoscendo il momento in cui la velocità v (t) diventa zero.
v (t) = 4-2 t = 0 => t = 2
Cioè, si ferma 2 s dopo aver iniziato a frenare.
iv) Nel periodo di 2s da quando inizia a frenare fino a quando non si ferma, viene percorso un angolo dato da φ (2):
φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 gradi
v) Nel periodo di 2 s da quando inizia a frenare fino a quando non si ferma, una distanza s data da:
s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m
Le ruote di un'auto hanno un diametro di 80 cm. Se l'auto viaggia a 100 km / h. Trova: i) la velocità angolare di rotazione delle ruote, ii) la frequenza di rotazione delle ruote, iii) il numero di giri che la ruota compie in un viaggio di 1 ora.
Risposte:
io) Per prima cosa convertiremo la velocità dell'auto da Km / ha m / s
v = 100 Km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s
La velocità angolare di rotazione delle ruote è data da:
ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s
ii) La frequenza di rotazione delle ruote è data da:
f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 giri / s
La frequenza di rotazione è solitamente espressa in giri al minuto r.p.m.
f = 11,05 giri / s = 11,05 giri / (1/60) min = 663,15 giri / min
iii) Il numero di giri che la ruota fa in un viaggio di 1 ora è calcolato sapendo che 1 ora = 60 min e che la frequenza è il numero di giri N diviso il tempo in cui vengono effettuati quegli N giri.
f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (giri / min) x 60 min = 39788,7 giri.
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