UN trapezio scaleno è un poligono con quattro lati, due dei quali paralleli tra loro, e con i suoi quattro angoli interni di diverse misure.
Il quadrilatero ABCD è mostrato sotto, dove i lati AB e DC sono paralleli tra loro. Questo è sufficiente per renderlo un trapezio, ma in più gli angoli interni α, β, γ e δ sono tutti diversi, quindi il trapezio è scaleno.
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Ecco gli elementi più caratteristici:
-Basi e fianchi: i lati paralleli del trapezio sono le sue basi ei due lati non paralleli sono i laterali.
In un trapezio scaleno le basi sono di diversa lunghezza e anche quelle laterali. Tuttavia, un trapezio scaleno può avere una lunghezza laterale uguale a una base..
-Mediano: è il segmento che unisce i punti medi delle laterali.
-Diagonali: la diagonale di un trapezio è il segmento che unisce due vertici opposti. Un trapezio, come ogni quadrilatero, ha due diagonali. Nel trapezio scaleno sono di diversa lunghezza.
Oltre al trapezio scaleno, esistono altri particolari trapezi: il trapezio di destra e il trapezio isoscele..
Un trapezio è un rettangolo quando uno dei suoi angoli è retto, mentre un trapezio isoscele ha i suoi lati di uguale lunghezza.
La forma trapezoidale ha numerose applicazioni a livello di design e industria, come nella configurazione delle ali degli aerei, nella forma di oggetti di uso quotidiano come tavoli, schienali di sedie, imballaggi, borse, stampe tessili e altro..
Di seguito sono elencate le proprietà del trapezio scaleno, molte delle quali si estendono ad altri tipi di trapezio. Nel seguito, quando si parla di "trapezio", la proprietà sarà applicabile a qualsiasi tipologia, scaleno compreso..
1. La mediana del trapezio, cioè il segmento che unisce i punti medi dei suoi lati non paralleli, è parallela a una qualsiasi delle basi.
2.- La mediana di un trapezio ha una lunghezza che è la semi-somma delle sue basi e taglia le sue diagonali nel punto medio.
3.- Le diagonali di un trapezio si intersecano in un punto che le divide in due sezioni proporzionali ai quozienti delle basi.
4.- La somma dei quadrati delle diagonali di un trapezio è uguale alla somma dei quadrati dei suoi lati più il doppio prodotto delle sue basi..
5.- Il segmento che unisce i punti medi delle diagonali ha una lunghezza pari alla semidifferenza delle basi.
6.- Gli angoli adiacenti a quelli laterali sono supplementari.
7.- In un trapezio scaleno la lunghezza delle sue diagonali è diversa.
8.- Un trapezio ha una circonferenza inscritta solo se la somma delle sue basi è uguale alla somma dei suoi lati.
9.- Se un trapezio ha una circonferenza inscritta, l'angolo con il vertice al centro di detta circonferenza e i lati che passano per le estremità del lato del trapezio è dritto.
10.- Un trapezio scaleno non ha una circonferenza circoscritta, l'unico tipo di trapezio che ne ha una è l'isoscele.
Le seguenti relazioni del trapezio scaleno sono riferite alla figura seguente.
1.- Se AE = ED e BF = FC → EF || AB e EF || DC.
2.- EF = (AB + DC) / 2 ovvero: m = (a + c) / 2.
3.- DI = IB = d1 / 2 e AG = GC = dDue /Due.
4.- DJ / JB = (c / a) allo stesso modo CJ / JA = (c / a).
5.- DBDue + ACDue = ADDue + AVANTI CRISTODue + 2 AB ∙ DC
Equivalentemente:
d1Due + dDueDue = dDue + bDue + 2 a ∙ c
6.- GI = (AB - DC) / 2
Vale a dire:
n = (a - c) / 2
7.- α + δ = 180⁰ e β + γ = 180⁰
8.- Se α ≠ β ≠ γ ≠ δ allora d1 ≠ d2.
9.- La figura 4 mostra un trapezio scaleno che ha una circonferenza inscritta, in questo caso è vero che:
a + c = d + b
10.- In un ABCD trapezoidale scaleno con una circonferenza inscritta del centro O, vale anche quanto segue:
∡AOD = ∡BOC = 90⁰
L'altezza di un trapezio è definita come il segmento che va da un punto della base perpendicolarmente alla base opposta (o al suo prolungamento).
Tutte le altezze del trapezio hanno la stessa misura h, quindi la maggior parte delle volte la parola altezza si riferisce alla sua misura. In sintesi, l'altezza è la distanza o separazione tra le basi.
L'altezza h può essere determinata conoscendo la lunghezza di un lato e uno degli angoli adiacenti al lato:
h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)
La misura m della mediana del trapezio è la semi-somma delle basi:
m = (a + b) / 2
d1 = √ [aDue + dDue - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α)]
dDue= √ [aDue + bDue - 2 ∙ a ∙ b ∙ Cos (β)]
Può anche essere calcolato se si conosce solo la lunghezza dei lati del trapezio:
d1 = √ [bDue + a ∙ c - a (bDue - dDue) / (a - c)]
dDue = √ [dDue + a ∙ c - a (dDue - bDue) / (a - c)]
Il perimetro è la lunghezza totale del contorno, cioè la somma di tutti i suoi lati:
P = a + b + c + d
L'area di un trapezio è la semi-somma delle sue basi moltiplicata per la sua altezza:
A = h ∙ (a + b) / 2
Si può anche calcolare se la mediana me l'altezza h sono note:
A = m ∙ h
Nel caso in cui sia nota solo la lunghezza dei lati del trapezio, l'area può essere determinata utilizzando la formula di Heron per il trapezio:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Dove s è il semiperimetro: s = (a + b + c + d) / 2.
L'intersezione della mediana con le diagonali e il parallelo che passa per l'intersezione delle diagonali dà luogo ad altre relazioni.
EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2
Se KL || AB || DC con J ∈ KL, allora KJ = JL = (a ∙ c) / (a + c)
Date le basi delle lunghezze per Y c, dove a> ce con lati di lunghezze be d, essere b> d, procedere seguendo questi passaggi (vedi figura 6):
1.- Con la regola si disegna il segmento della maggiore AB.
2.- Da A se e su AB il punto P è segnato in modo che AP = c.
3.- Con il compasso con centro in P e raggio d, viene disegnato un arco.
4.- Centro in B con raggio b tracciando un arco che intercetta l'arco disegnato nel passaggio precedente. Chiamiamo Q il punto di intersezione.
5.- Con il centro in A, traccia un arco di raggio d.
6.- Con il centro in Q, disegnare un arco di raggio c che intercetta l'arco disegnato nel passaggio precedente. Il punto di cut-off sarà chiamato R.
7.- I segmenti BQ, QR e RA vengono tracciati con il righello.
8.- Il quadrilatero ABQR è un trapezio scaleno, poiché APQR è un parallelogramma che garantisce che AB || Qr.
Le seguenti lunghezze sono indicate in cm: 7, 3, 4 e 6.
a) Determina se con loro è possibile costruire un trapezio scaleno che possa circoscrivere un cerchio.
b) Trova il perimetro, l'area, la lunghezza delle diagonali e l'altezza di detto trapezio, nonché il raggio del cerchio inscritto.
Utilizzando i segmenti di lunghezza 7 e 3 come basi e quelli di lunghezza 4 e 6 come laterali, si può costruire un trapezio scaleno utilizzando la procedura descritta nella sezione precedente.
Resta da verificare se ha una circonferenza inscritta, ma ricordando la proprietà (9):
Un trapezio ha una circonferenza inscritta solo se la somma delle sue basi è uguale alla somma dei suoi lati.
Lo vediamo in modo efficace:
7 + 3 = 4 + 6 = 10
Quindi la condizione di esistenza della circonferenza inscritta è soddisfatta.
Il perimetro P si ottiene sommando i lati. Poiché le basi sommano fino a 10 e anche le laterali, il perimetro è:
P = 20 cm
Per determinare l'area, nota solo i suoi lati, si applica la relazione:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Dove s è il semiperimetro:
s = (a + b + c + d) / 2.
Nel nostro caso il semiperimetro vale s = 10 cm. Dopo aver sostituito i rispettivi valori:
a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm
Resti:
A = [10/4] √ [(3) (7) (- 1) (- 3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².
L'altezza h è correlata all'area A dalla seguente espressione:
A = (a + c) ∙ h / 2, da cui si può ricavare l'altezza sgombrando:
h = 2A / (a + c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.
Il raggio del cerchio inscritto è uguale alla metà dell'altezza:
r = h / 2 = 1.984 cm
Infine si trova la lunghezza delle diagonali:
d1 = √ [bDue + a ∙ c - a (bDue - dDue) / (a - c)]
dDue = √ [dDue + a ∙ c - a (dDue - bDue) / (a - c)]
Sostituendo correttamente i valori, abbiamo:
d1 = √ [6Due + 7 ∙ 3-7 (6Due - 4Due) / (7 - 3)] = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)
dDue = √ [4Due + 7 ∙ 3-7 (4Due - 6Due) / (7 - 3)] = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)
Cioè: d1 = 4,69 cm e dDue = 8,49 cm
Determina gli angoli interni del trapezio con basi AB = a = 7, CD = c = 3 e angoli laterali BC = b = 6, DA = d = 4.
Il teorema del coseno può essere applicato per determinare gli angoli. Ad esempio, l'angolo ∠A = α è determinato dal triangolo ABD con AB = a = 7, BD = d2 = 8.49 e DA = d = 4.
Il teorema del coseno applicato a questo triangolo ha questo aspetto:
dDueDue = aDue + dDue - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), ovvero:
72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).
Risolvendo per, si ottiene il coseno dell'angolo α:
Cos (α) = -1/8
Cioè, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.
Allo stesso modo si ottengono gli altri angoli, i cui valori sono:
β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ e infine δ = 82,82⁰.
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