Riduzione di termini simili (con esercizi risolti)

Il riduzione dei termini simili è un metodo utilizzato per semplificare le espressioni algebriche. In un'espressione algebrica, termini simili sono quelli che hanno la stessa variabile; cioè hanno le stesse incognite rappresentate da una lettera, e queste hanno gli stessi esponenti.

In alcuni casi i polinomi sono estesi e per arrivare a una soluzione bisogna cercare di ridurre l'espressione; Ciò è possibile quando ci sono termini simili, che possono essere combinati applicando operazioni e proprietà algebriche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione..

Indice articolo

• 1 Spiegazione
• 2 Come ridurre i termini simili?
  • 2.1 Esempio
  • 2.2 Riduzione di termini simili con segni di uguale
  • 2.3 Riduzione di termini simili con segni diversi
• 3 Riduzione di termini simili nelle operazioni
  • 3.1 In somme
  • 3.2 In sottrazione
  • 3.3 Nella moltiplicazione
  • 3.4 Nelle divisioni
• 4 Esercizi risolti
  • 4.1 Primo esercizio
  • 4.2 Secondo esercizio
• 5 Riferimenti

Spiegazione

Termini simili sono formati dalle stesse variabili con gli stessi esponenti, e in alcuni casi questi sono differenziati solo dai loro coefficienti numerici.

Sono considerati termini simili anche quelli che non hanno variabili; cioè quei termini che hanno solo costanti. Quindi, ad esempio, i seguenti sono termini simili:

- 6x^Due - 3x^Due. Entrambi i termini hanno la stessa variabile x^Due.

- 4 °^Dueb³ + 2 °^Dueb³. Entrambi i termini hanno le stesse variabili a^Dueb³.

- 7 - 6. I termini sono costanti.

Quei termini che hanno le stesse variabili ma con esponenti diversi sono chiamati termini dissimili, come ad esempio:

- 9a^Dueb + 5ab. Le variabili hanno esponenti diversi.

- 5x + e. Le variabili sono differenti.

- b - 8. Un termine ha una variabile, l'altro è una costante.

Individuando i termini simili che formano un polinomio, questi possono essere ridotti a uno, unendo tutti quelli che hanno le stesse variabili con gli stessi esponenti. In questo modo si semplifica l'espressione riducendo il numero di termini che la compongono e si facilita il calcolo della sua soluzione..

Come ridurre i termini simili?

La riduzione dei termini simili viene effettuata applicando la proprietà associativa di addizione e la proprietà distributiva del prodotto. Utilizzando la seguente procedura è possibile effettuare una riduzione dei termini:

- I termini simili vengono raggruppati per primi.

- I coefficienti (i numeri che accompagnano le variabili) dei termini simili vengono aggiunti o sottratti e vengono applicate le proprietà associative, commutative o distributive, a seconda dei casi..

- Quindi vengono scritti i nuovi termini ottenuti, ponendo davanti a loro il segno che è risultato dall'operazione.

Esempio

Riduci i termini della seguente espressione: 10x + 3y + 4x + 5y.

Soluzione

Innanzitutto, i termini sono ordinati per raggruppare quelli simili, applicando la proprietà commutativa:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Quindi si applica la proprietà distributiva e si sommano i coefficienti che accompagnano le variabili per ottenere la riduzione dei termini:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y.

Per ridurre termini simili, è importante tenere conto dei segni dei coefficienti che accompagnano la variabile. Ci sono tre possibili casi:

Riduzione di termini simili con segni di uguale

In questo caso vengono sommati i coefficienti e il segno dei termini viene posto davanti al risultato. Pertanto, se sono positivi, i termini risultanti saranno positivi; nel caso in cui i termini siano negativi, il risultato avrà il segno (-) accompagnato dalla variabile. Per esempio:

a) 22ab^Due + 12ab^Due = 34 ab^Due.

b) -18x³ - 9x³ - 6 = -27x³ - 6.

Riduzione dei termini simili csu segni diversi

In questo caso, i coefficienti vengono sottratti e il segno del coefficiente più grande viene posizionato davanti al risultato. Per esempio:

a) 15x^Duey - 4x^Duee + 6x^Duey - 11x^DueY

= (15x^Duee + 6x^Duey) + (- 4x^Duey - 11x^DueY)

= 21x^Duey + (-15x^DueY)

= 21x^Duey - 15x^DueY

= 6x^DueY.

b) -5a³b + 3 a³b - 4a³b + a³b

= (Da 3 a³b + a³b) + (-5a³b - 4a³b)

= 4a³b - 9a³b

= Da -5 a³b.

Quindi, per ridurre termini simili che hanno segni diversi, si forma un unico termine additivo con tutti quelli che hanno segno positivo (+), si sommano i coefficienti e si accompagna il risultato alle variabili.

Allo stesso modo si forma un termine sottrattivo, con tutti quei termini che hanno segno negativo (-), si sommano i coefficienti e si accompagna il risultato alle variabili.

Infine vengono sottratte le somme dei due termini formati e dal risultato viene posto il segno del maggiore.

Riduzione di termini simili nelle operazioni

La riduzione di termini simili è un'operazione di algebra, che può essere applicata in aggiunta, sottrazione, moltiplicazione e divisione algebrica.

In somme

Quando si hanno più polinomi con termini simili, per ridurli, i termini di ciascun polinomio vengono ordinati mantenendo i loro segni, quindi vengono scritti uno dopo l'altro ei termini simili vengono ridotti. Ad esempio, abbiamo i seguenti polinomi:

3x - 4xy + 7x^Duee + 5xy^Due.

- 6x^Duey - 2xy + 9 xy^Due - 8x.

In sottrazione

Per sottrarre un polinomio da un altro, si scrive il minuendo e poi si cambia il sottraendo con i suoi segni, quindi si effettua la riduzione dei termini simili. Per esempio:

5 °³ - 3ab^Due + 3b^Duec

6ab^Due + 2 °³ - 8b^Duec

Pertanto, i polinomi sono riassunti in 3a³ - 9ab^Due + 11b^Duec.

In moltiplicazioni

In un prodotto di polinomi, i termini che compongono il moltiplicando vengono moltiplicati per ogni termine che compone il moltiplicatore, considerando che i segni della moltiplicazione rimangono gli stessi se sono positivi.

Verranno modificati solo se moltiplicati per un termine negativo; ovvero, quando due termini dello stesso segno vengono moltiplicati il ​​risultato sarà positivo (+), e quando hanno segni diversi il risultato sarà negativo (-).

Per esempio:

a) (a + b) _* (a + b)

= a^Due + ab + ab + b^Due

= a^Due + 2ab + b^Due.

b) (a + b) _* (a - b)

= a^Due - ab + ab - b^Due

= a^Due - b^Due.

taxi) _* (a - b)

= a^Due - ab - ab + b^Due

= a^Due - 2ab + b^Due.

In divisioni

Quando vuoi ridurre due polinomi attraverso una divisione, devi trovare un terzo polinomio che, moltiplicato per il secondo (divisore), dia come risultato il primo polinomio (dividendo).

Per questo, i termini del dividendo e del divisore devono essere ordinati, da sinistra a destra, in modo che le variabili in entrambi siano nello stesso ordine.

Si procede quindi alla divisione, partendo dal primo termine a sinistra del dividendo per il primo termine a sinistra del divisore, tenendo sempre conto dei segni di ogni termine.

Ad esempio, ridurre il polinomio: 10x⁴ - 48x³e + 51x^DueY^Due + 4xy³ - 15y⁴ dividendolo per il polinomio: -5x^Due + 4xy + 3y^Due.

Il polinomio risultante è -2x^Due + 8xy - 5y^Due.

Esercizi risolti

Primo esercizio

Riduci i termini di una data espressione algebrica:

15 °^Due - 8ab + 6a^Due - 6ab - 9 + 4a^Due - 13 ab.

Soluzione

Viene applicata la proprietà commutativa dell'addizione, raggruppando i termini che hanno le stesse variabili:

15 °^Due - 8ab + 6a^Due - 6ab + 9 + 4a^Due - 13

= (15a^Due + 6 °^Due + 4 °^Due) + (- 8ab - 6ab) + (9-13).

Quindi viene applicata la proprietà distributiva della moltiplicazione:

15 °^Due - 8ab + 6a^Due - 6ab + 9 + 4a^Due - 13

= (15 + 6 + 4) a^Due + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Infine, vengono semplificati aggiungendo e sottraendo i coefficienti di ciascun termine:

15 °^Due - 8ab + 6a^Due - 6ab + 9 + 4a^Due - 13

= 25a^Due - 14ab - 4.

Secondo esercizio

Semplifica il prodotto dei seguenti polinomi:

(8x³ + 7xy^Due)_*(8x³ - 7 xy^Due).

Soluzione

Ogni termine del primo polinomio viene moltiplicato per il secondo, tenendo conto che i segni dei termini sono diversi; quindi il risultato della sua moltiplicazione sarà negativo, così come dovranno essere applicate le leggi degli esponenti.

(8x³ + 7xy^Due) _* (8x³ - 7xy^Due)

= 64 x⁶ - 56 x³_* xy^Due + 56 x³_* xy^Due - 49 x^DueY⁴

= 64 x⁶ - 49 x^DueY⁴.

Riferimenti

1. Angelo, A. R. (2007). Algebra elementare. Pearson Education,.
2. Baldor, A. (1941). Algebra. L'Avana: Cultura.
3. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Algebra elementare e intermedia: un approccio combinato. Florida: Cengage Learning.
4. Smith, S. A. (2000). Algebra. Pearson Education.
5. Vigil, C. (2015). Algebra e sue applicazioni.