Il numeri irrazionali sono quelli la cui espressione decimale ha cifre infinite senza uno schema ripetitivo, quindi non possono essere ottenuti facendo il quoziente tra due numeri interi.
Tra i numeri irrazionali più noti ci sono:
Tra questi, senza dubbio π (pi) è il più familiare, ma ce ne sono molti altri. Tutti appartengono all'insieme dei numeri reali, che è l'insieme numerico che raggruppa numeri razionali e irrazionali..
I puntini di sospensione nella figura 1 indicano che i decimali continuano indefinitamente, ciò che accade è che lo spazio delle normali calcolatrici consente di mostrare solo pochi.
Se guardiamo attentamente, ogni volta che facciamo il quoziente tra due numeri interi, otteniamo un decimale con cifre limitate o, in caso contrario, con cifre infinite in cui una o più vengono ripetute. Ebbene, questo non accade con i numeri irrazionali..
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Il grande matematico antico Pitagora, nato nel 582 a.C. a Samos, in Grecia, fondò la scuola di pensiero pitagorica e scoprì il famoso teorema che porta il suo nome. Ce l'abbiamo qui a sinistra (forse i babilonesi lo sapevano già da molto tempo).
Ebbene, quando Pitagora (o probabilmente un suo discepolo) applicò il teorema a un triangolo rettangolo con lati uguali a 1, trovò il numero irrazionale √2.
Lo ha fatto in questo modo:
c = √1Due + 1Due = √1 + 1 = √2
E subito si rese conto che questo nuovo numero non proveniva dal quoziente tra altri due numeri naturali, che erano quelli conosciuti in quel momento.
Quindi l'ha chiamato irrazionale, e la scoperta causò grande ansia e confusione tra i Pitagorici.
-L'insieme di tutti i numeri irrazionali è indicato dalla lettera I e talvolta come Q * o QC. L'unione tra i numeri irrazionali I o Q * e i numeri razionali Q, dà origine all'insieme dei numeri reali R.
-Con i numeri irrazionali, è possibile eseguire le operazioni aritmetiche note: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenziamento e altro.
-Anche la divisione per 0 non è definita tra numeri irrazionali.
-La somma e il prodotto tra numeri irrazionali non è necessariamente un altro numero irrazionale. Per esempio:
√2 x √8 = √16 = 4
E 4 non è un numero irrazionale.
-Tuttavia, la somma di un numero razionale più un numero irrazionale risulta in un irrazionale. In questo modo:
1 + √2 = 2,41421356237…
-Anche il prodotto di un numero razionale diverso da 0 per un numero irrazionale è irrazionale. Diamo un'occhiata a questo esempio:
2 x √2 = 2,828427125 ...
-L'inverso di un irrazionale si traduce in un altro numero irrazionale. Proviamone alcuni:
1 / √2 = 0,707106781…
1 / √3 = 0,577350269…
Questi numeri sono interessanti perché sono anche i valori di alcuni rapporti trigonometrici di angoli noti. La maggior parte dei rapporti trigonometrici sono numeri irrazionali, ma ci sono eccezioni, come sin 30º = 0,5 = ½, che è razionale.
-Inoltre, le proprietà commutative e associative sono soddisfatte. Se aeb sono due numeri irrazionali, significa che:
a + b = b + a.
E se c è un altro numero irrazionale, allora:
(a + b) + c = a + (b + c).
-La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione è un'altra proprietà ben nota che vale anche per i numeri irrazionali. In questo caso:
a. (b + c) = a.b + a.c.
-Una a irrazionale ha il suo opposto: -a. Quando vengono sommati insieme il risultato è 0:
a + (- a) = 0
-Tra due diversi razionali, c'è almeno un numero irrazionale.
La linea reale è una linea orizzontale in cui si trovano i numeri reali, di cui gli irrazionali sono una parte importante.
Per trovare un numero irrazionale sulla linea reale, in forma geometrica, possiamo usare il teorema di Pitagora, un righello e un compasso.
Ad esempio, localizzeremo √5 sulla linea reale, per la quale disegneremo un triangolo rettangolo con lati x = 2 Y y = 1, come mostra l'immagine:
Secondo il teorema di Pitagora, l'ipotenusa di un tale triangolo è:
c = √2Due + 1Due = √4 + 1 = √5
Ora la bussola è posizionata con il punto a 0, dove si trova anche uno dei vertici del triangolo rettangolo. La punta della matita della bussola dovrebbe essere al vertice A.
Viene disegnato un arco di circonferenza che taglia la linea reale. Poiché la distanza tra il centro della circonferenza e qualsiasi punto su di essa è il raggio, che è uguale a √5, anche il punto di intersezione è lontano √5 dal centro.
Dal grafico si può vedere che √5 è compreso tra 2 e 2,5. Una calcolatrice ci fornisce il valore approssimativo di:
√5 = 2,236068
E così, costruendo un triangolo con i lati appropriati, è possibile localizzarne altri irrazionali, come √7 e altri.
I numeri irrazionali sono classificati in due gruppi:
-Algebrico
-Trascendente o trascendentale
I numeri algebrici, che possono o non possono essere irrazionali, sono soluzioni di equazioni polinomiali la cui forma generale è:
pern Xn + pern-1Xn-1 + pern-2Xn-2 +…. + a1x + ao = 0
Un esempio di un'equazione polinomiale è un'equazione quadratica come questa:
X3 - 2x = 0
È facile mostrare che il numero irrazionale √2 è una delle soluzioni di questa equazione.
D'altra parte, i numeri trascendenti, sebbene siano irrazionali, non sorgono mai come soluzione di un'equazione polinomiale.
I numeri trascendenti che si trovano più frequentemente nella matematica applicata sono π, a causa della sua relazione con la circonferenza e il numero e, o il numero di Eulero, che è la base dei logaritmi naturali..
Un quadrato grigio è posto su un quadrato nero nella posizione indicata in figura. La superficie del quadrato nero è nota per essere 64 cmDue. Quanto sono le lunghezze di entrambi i quadrati?
L'area di un quadrato con lato L è:
A = LDue
Poiché il quadrato nero è di 64 cmDue di area, il suo lato dovrebbe essere di 8 cm.
Questa misura è la stessa di la diagonale del quadrato grigio. Applicando il teorema di Pitagora a questa diagonale, e ricordando che i lati di un quadrato misurano la stessa cosa, avremo:
8Due = LgDue + LgDue
Dove Lg è il lato del quadrato grigio.
Quindi: 2LgDue = 8Due
Applicazione della radice quadrata a entrambi i lati dell'uguaglianza:
Lg = (8 / √2) cm
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